Kvadratická rovnica – korene, diskriminant a graf

Q: Čo sa stane, keď a = 0?

Rovnica je vtedy lineárna, bx + c = 0, a nástroj ju tak aj rieši: x = −c / b. Ak je aj b rovné 0, buď je riešením každé číslo c = 0 , alebo žiadne c ≠ 0 .

Q: Prečo dostanem výsledok s i?

Písmeno i je imaginárna jednotka, pre ktorú platí i² = −1. Objaví sa, keď je diskriminant záporný: parabola nikdy nepretne os x, takže neexistuje reálne riešenie, ale existujú dve komplexné.

Q: Môžem zadať koeficienty ako desatinné čísla alebo zlomky?

Áno. Napíš 0,5, 1/3 alebo −2,25; výpočet zostane presný, lebo sa každý koeficient najprv prevedie na zlomok.

Q: Aké presné sú desatinné hodnoty?

Presný tvar je vždy správny. Desatinné aproximácie sú zaokrúhlené na sedem platných číslic, čo stačí na domáce úlohy aj na väčšinu praktických využití.

Q: Ako nájdem vrchol paraboly?

Použi h = −b / 2a a potom k = f h , čo sa rovná aj −Δ / 4a . Nástroj ukazuje oba vzorce s tvojimi číslami v riešení krok za krokom.

Q: Počíta sa dvojnásobný koreň raz alebo dvakrát?

Ako riešenie rovnice je to jediná hodnota a zobrazí sa raz. Ako koreň polynómu má násobnosť dva, preto súčinový tvar obsahuje druhú mocninu, napríklad 2 x − 1 ².

Kalkulačka kvadratických rovníc

Vyrieš ľubovoľnú kvadratickú rovnicu ax² + bx + c = 0: diskriminant, presné korene s odmocninami, komplexné korene, vrcholový a súčinový tvar a graf.

Rovnica ax² + bx + c = 0

a b c

Prijímajú sa celé čísla, desatinné čísla a zlomky, napríklad 1/2. Prázdne b alebo c sa berie ako 0.

Príklady

–

Riešenie krok za krokom

Ako používať kalkulačku kvadratických rovníc

Do polí Koeficient a, Koeficient b a Koeficient c zadaj tri koeficienty rovnice ax² + bx + c = 0. Prijímajú sa celé čísla, desatinné čísla a zlomky ako 1/2; prázdne b alebo c sa berie ako 0.
Odpoveď sa aktualizuje počas písania; tlačidlo Vyriešiť robí to isté. Vymazať vyprázdni tri polia a Kopírovať skopíruje rovnicu a jej riešenia.
V časti Riešenia je každý koreň v presnom tvare, nasledovaný desatinným približným zápisom, ak presná hodnota nie je krátke desatinné číslo.
Pod tým nástroj uvádza Diskriminant Δ, Vrchol, Os súmernosti, Priesečník s osou y, smer otvorenia paraboly a súčet a súčin koreňov. Nasledujú tri Tvary funkcie (všeobecný, vrcholový a súčinový) a Graf paraboly.
Riešenie krok za krokom zopakuje celý postup: diskriminant, odmocninu z Δ, vzorec pre kvadratickú rovnicu, oba korene, vrchol, súčinový tvar a skúšku.

Tlačidlá Príklady načítajú typické prípady: dva celočíselné korene, dvojnásobný koreň, komplexné korene a iracionálne korene.

Nástroj funguje v tvojom prehliadači. Nič, čo zadáš, sa neodosiela na server.

Vzorec pre kvadratickú rovnicu a diskriminant

Kvadratická rovnica má tvar ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. Jej riešenia dáva vzorec:

x = (−b ± √Δ) / (2a), kde Δ = b² − 4ac

Všetko rozhoduje diskriminant Δ:

Δ > 0: dva rôzne reálne korene. Ak je Δ dokonalý štvorec (a koeficienty sú racionálne), korene sú racionálne a polynóm sa pekne rozloží, napríklad x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: jeden dvojnásobný koreň, x = −b / (2a). Parabola sa dotýka osi x vo svojom vrchole.
Δ < 0: žiadny reálny koreň. Odmocnina zo záporného čísla je imaginárna, √Δ = i√|Δ|, takže korene sú dve komplexne združené čísla, napríklad −1 ± 2i.

Nástroj počíta s presnými zlomkami, takže nikdy nestráca presnosť. Keď √Δ nie je celé číslo, zjednoduší odmocninu (√32 = 4√2) a výsledok zredukuje: x² + 3x + 1 = 0 dá x = (−3 ± √5)/2 a x² − 8 = 0 dá x = ±2√2.

Vrcholový tvar, súčinový tvar a graf

Vrcholový tvar a(x − h)² + k ukazuje vrchol (h, k) priamo, pričom h = −b / (2a) a k = −Δ / (4a). Priamka x = h je os súmernosti: oba korene sú od nej rovnako vzdialené. Pre a > 0 je parabola otvorená nahor a k je jej minimum; pre a < 0 je otvorená nadol a k je jej maximum.

Súčinový tvar a(x − x₁)(x − x₂) využíva korene. Pri racionálnych koreňoch nástroj zapíše činitele s celými číslami, napríklad 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Keď je Δ < 0, v obore reálnych čísel sa rozložiť nedá a nástroj to uvedie skôr, než ukáže komplexné činitele.

Graf sa kreslí v mierke okolo vrcholu a koreňov. Modré body označujú reálne korene, oranžový bod vrchol a čiarkovaná čiara os súmernosti.

Na záver nástroj skontroluje výsledok Vietovými vzťahmi: x₁ + x₂ = −b/a a x₁ × x₂ = c/a.

Často kladené otázky

Čo sa stane, keď a = 0?

Rovnica je vtedy lineárna, bx + c = 0, a nástroj ju tak aj rieši: x = −c / b. Ak je aj b rovné 0, buď je riešením každé číslo (c = 0), alebo žiadne (c ≠ 0).

Prečo dostanem výsledok s i?

Písmeno i je imaginárna jednotka, pre ktorú platí i² = −1. Objaví sa, keď je diskriminant záporný: parabola nikdy nepretne os x, takže neexistuje reálne riešenie, ale existujú dve komplexné.

Môžem zadať koeficienty ako desatinné čísla alebo zlomky?

Áno. Napíš 0,5, 1/3 alebo −2,25; výpočet zostane presný, lebo sa každý koeficient najprv prevedie na zlomok.

Aké presné sú desatinné hodnoty?

Presný tvar je vždy správny. Desatinné aproximácie sú zaokrúhlené na sedem platných číslic, čo stačí na domáce úlohy aj na väčšinu praktických využití.

Ako nájdem vrchol paraboly?

Použi h = −b / (2a) a potom k = f(h), čo sa rovná aj −Δ / (4a). Nástroj ukazuje oba vzorce s tvojimi číslami v riešení krok za krokom.

Počíta sa dvojnásobný koreň raz alebo dvakrát?

Ako riešenie rovnice je to jediná hodnota a zobrazí sa raz. Ako koreň polynómu má násobnosť dva, preto súčinový tvar obsahuje druhú mocninu, napríklad 2(x − 1)².