Équation du second degré – delta, racines et courbe

Q: Que se passe-t-il si a = 0 ?

L'équation devient du premier degré, bx + c = 0, et l'outil la résout comme telle : x = −c / b. Si b vaut aussi 0, soit tout réel est solution c = 0 , soit il n'y a aucune solution c ≠ 0 .

Q: Pourquoi le résultat contient-il la lettre i ?

i est l'unité imaginaire, qui vérifie i² = −1. Elle apparaît quand delta est négatif : la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, il n'y a donc pas de solution réelle, mais il existe deux solutions complexes.

Q: Peut-on saisir des coefficients décimaux ou fractionnaires ?

Oui. Tapez 0,5, 1/3 ou −2,25 : chaque coefficient est converti en fraction, si bien que le calcul reste exact du début à la fin.

Q: Quelle est la précision des valeurs approchées ?

La forme exacte est toujours juste. Les valeurs décimales sont arrondies à sept chiffres significatifs, ce qui suffit largement pour un devoir ou une application pratique.

Q: Comment trouver le sommet d'une parabole ?

On calcule α = −b / 2a , puis β = f α , qui vaut aussi −Δ / 4a . La résolution détaillée montre ces deux formules avec vos valeurs.

Q: Une racine double compte-t-elle une ou deux fois ?

Comme solution de l'équation, c'est une seule valeur, affichée une fois. Comme racine du polynôme, elle est de multiplicité deux, d'où le carré dans la forme factorisée, par exemple 2 x − 1 ².

Résoudre une équation du second degré

Résolvez une équation du second degré ax² + bx + c = 0 : calcul du discriminant delta, racines exactes ou complexes, forme canonique, factorisée et courbe.

Équation ax² + bx + c = 0

a b c

Nombres entiers, décimaux (2,5) et fractions (1/2) acceptés. Un b ou un c laissé vide vaut 0.

Exemples

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Résolution détaillée

Comment résoudre une équation du second degré avec cet outil

Saisissez les trois coefficients de ax² + bx + c = 0 dans Coefficient a, Coefficient b et Coefficient c. Les entiers, les décimaux avec virgule (2,5) et les fractions (1/2) sont acceptés ; un b ou un c laissé vide vaut 0.
Le résultat se met à jour pendant la saisie ; le bouton Résoudre fait de même. Effacer vide les trois cases et Copier copie l’équation et ses solutions.
Lisez les Solutions : chaque racine est donnée sous forme exacte, suivie d’une valeur approchée lorsque la valeur exacte n’est pas un décimal simple.
Viennent ensuite le Discriminant Δ, le Sommet, l’Axe de symétrie, l’Ordonnée à l’origine, l’orientation de la parabole ainsi que la somme et le produit des racines, puis les Formes de la fonction (développée, canonique et factorisée) et la Courbe de la parabole.
La Résolution détaillée reprend tout le raisonnement : calcul de delta, racine carrée de Δ, formule des racines, vérification.

Les boutons Exemples chargent des cas typiques : deux racines entières, une racine double, des racines complexes et des racines irrationnelles.

Le discriminant delta et la formule des racines

Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On calcule d’abord le discriminant :

Δ = b² − 4ac

puis on applique la formule x = (−b ± √Δ) / (2a). Le signe de delta donne le nombre de solutions :

Δ > 0 : deux racines réelles distinctes, x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Si Δ est un carré parfait, les racines sont rationnelles et le trinôme se factorise simplement : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0 : une racine double, x₀ = −b / (2a). La parabole touche l’axe des abscisses en son sommet.
Δ < 0 : aucune racine réelle. On pose √Δ = i√(−Δ) et l’on obtient deux racines complexes conjuguées, par exemple −1 ± 2i.

Cet outil calcule en fractions exactes, sans arrondi intermédiaire. Quand √Δ n’est pas entier, il simplifie le radical (√32 = 4√2) et réduit le résultat : x² + 3x + 1 = 0 donne x = (−3 ± √5)/2 et x² − 8 = 0 donne x = ±2√2.

Forme canonique, forme factorisée et courbe

La forme canonique a(x − α)² + β fait apparaître le sommet S(α ; β), avec α = −b / (2a) et β = −Δ / (4a). La droite d’équation x = α est l’axe de symétrie : les deux racines sont à égale distance de cet axe. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut et β est le minimum de la fonction ; si a < 0, elle est tournée vers le bas et β en est le maximum.

La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) s’obtient à partir des racines. Avec des racines rationnelles, l’outil écrit des facteurs à coefficients entiers, par exemple 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Lorsque Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans ℝ : l’outil le signale, puis affiche la factorisation dans ℂ.

La courbe est tracée à l’échelle autour du sommet et des racines : les points bleus marquent les racines réelles, le point orange le sommet, et les pointillés l’axe de symétrie.

Enfin, l’outil vérifie le résultat avec les relations de Viète : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si a = 0 ?

L’équation devient du premier degré, bx + c = 0, et l’outil la résout comme telle : x = −c / b. Si b vaut aussi 0, soit tout réel est solution (c = 0), soit il n’y a aucune solution (c ≠ 0).

Pourquoi le résultat contient-il la lettre i ?

i est l’unité imaginaire, qui vérifie i² = −1. Elle apparaît quand delta est négatif : la parabole ne coupe jamais l’axe des abscisses, il n’y a donc pas de solution réelle, mais il existe deux solutions complexes.

Peut-on saisir des coefficients décimaux ou fractionnaires ?

Oui. Tapez 0,5, 1/3 ou −2,25 : chaque coefficient est converti en fraction, si bien que le calcul reste exact du début à la fin.

Quelle est la précision des valeurs approchées ?

La forme exacte est toujours juste. Les valeurs décimales sont arrondies à sept chiffres significatifs, ce qui suffit largement pour un devoir ou une application pratique.

Comment trouver le sommet d'une parabole ?

On calcule α = −b / (2a), puis β = f(α), qui vaut aussi −Δ / (4a). La résolution détaillée montre ces deux formules avec vos valeurs.

Une racine double compte-t-elle une ou deux fois ?

Comme solution de l’équation, c’est une seule valeur, affichée une fois. Comme racine du polynôme, elle est de multiplicité deux, d’où le carré dans la forme factorisée, par exemple 2(x − 1)².