Utilia
Categorii ▾
Limbă: ro ▾

Rezolvare ecuație de gradul 2

Rezolvă orice ecuație de gradul 2 ax² + bx + c = 0: discriminant, rădăcini exacte cu radicali, rădăcini complexe, forma canonică, factorizare și grafic.

Ecuația ax² + bx + c = 0

Se acceptă numere întregi, zecimale și fracții precum 1/2. Un b sau c necompletat se consideră 0.

Exemple

–

    Rezolvare pas cu pas

    Cum folosești instrumentul de rezolvare a ecuațiilor de gradul 2

    1. Scrie cei trei coeficienți ai ecuației ax² + bx + c = 0 în Coeficientul a, Coeficientul b și Coeficientul c. Se acceptă numere întregi, zecimale și fracții precum 1/2, iar un b sau c necompletat se consideră 0.
    2. Răspunsul se actualizează pe măsură ce scrii; Rezolvă face același lucru. Șterge golește cele trei câmpuri, iar Copiază copiază ecuația și soluțiile ei.
    3. Citește Soluții: fiecare rădăcină este afișată în formă exactă, urmată de o aproximare zecimală când valoarea exactă nu este o zecimală scurtă.
    4. Mai jos, instrumentul listează Discriminantul Δ, Vârful, Axa de simetrie, Intersecția cu axa y, sensul în care se deschide parabola, precum și suma și produsul rădăcinilor. Urmează cele trei Formele funcției (generală, canonică și factorizată) și Graficul parabolei.
    5. Rezolvare pas cu pas reia tot calculul: discriminantul, rădăcina pătrată din Δ, formula ecuației de gradul 2, ambele rădăcini, vârful, forma factorizată și o verificare.

    Butoanele Exemple încarcă cazuri tipice: două rădăcini întregi, o rădăcină dublă, rădăcini complexe și rădăcini iraționale.

    Formula rădăcinilor și discriminantul

    O ecuație de gradul 2 are forma ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0. Soluțiile ei sunt date de formula:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), unde Δ = b² − 4ac

    Discriminantul Δ hotărăște totul:

    • Δ > 0: două rădăcini reale distincte. Dacă Δ este pătrat perfect (iar coeficienții sunt raționali), rădăcinile sunt raționale și polinomul se descompune frumos, de exemplu x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: o rădăcină dublă, x = −b / (2a). Parabola atinge axa x în vârful ei.
    • Δ < 0: nicio rădăcină reală. Rădăcina pătrată dintr-un număr negativ este imaginară, √Δ = i√|Δ|, deci rădăcinile sunt două numere complexe conjugate, cum ar fi −1 ± 2i.

    Instrumentul calculează cu fracții exacte, deci nu pierde niciodată precizie. Când √Δ nu este număr întreg, simplifică radicalul (√32 = 4√2) și reduce rezultatul: x² + 3x + 1 = 0 dă x = (−3 ± √5)/2, iar x² − 8 = 0 dă x = ±2√2.

    Forma canonică, forma factorizată și graficul

    Forma canonică a(x − h)² + k arată direct vârful (h, k), cu h = −b / (2a) și k = −Δ / (4a). Dreapta x = h este axa de simetrie: ambele rădăcini se află la aceeași distanță de ea. Când a > 0, parabola se deschide în sus, iar k este minimul ei; când a < 0, se deschide în jos, iar k este maximul ei.

    Forma factorizată a(x − x₁)(x − x₂) folosește rădăcinile. Cu rădăcini raționale, instrumentul scrie factori cu coeficienți întregi, de exemplu 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Când Δ < 0, polinomul nu se poate descompune în factori reali, iar instrumentul spune asta înainte de a arăta factorii complecși.

    Graficul este desenat la scară în jurul vârfului și al rădăcinilor. Punctele albastre marchează rădăcinile reale, punctul portocaliu marchează vârful, iar linia punctată este axa de simetrie.

    Ca verificare finală, instrumentul aplică relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = −b/a și x₁ × x₂ = c/a.

    Întrebări frecvente

    Ce se întâmplă dacă a = 0?

    Ecuația devine de gradul 1, bx + c = 0, iar instrumentul o rezolvă ca atare: x = −c / b. Dacă și b este 0, fie orice număr este soluție (c = 0), fie nu există nicio soluție (c ≠ 0).

    De ce primesc un rezultat cu i?

    Litera i este unitatea imaginară, cu i² = −1. Apare când discriminantul este negativ: parabola nu taie niciodată axa x, deci nu există soluție reală, dar există două soluții complexe.

    Pot introduce zecimale sau fracții drept coeficienți?

    Da. Scrie 0,5, 1/3 sau −2,25; calculul rămâne exact, deoarece fiecare coeficient este mai întâi transformat în fracție.

    Cât de precise sunt valorile zecimale?

    Forma exactă este întotdeauna corectă. Aproximările zecimale sunt rotunjite la șapte cifre semnificative, ceea ce este suficient pentru teme și pentru majoritatea utilizărilor practice.

    Cum aflu vârful unei parabole?

    Folosește h = −b / (2a), apoi k = f(h), care este egal și cu −Δ / (4a). Instrumentul arată ambele formule, cu numerele tale, în rezolvarea pas cu pas.

    Rădăcina dublă se numără o dată sau de două ori?

    Ca soluție a ecuației este o singură valoare, afișată o dată. Ca rădăcină a polinomului are multiplicitatea doi, motiv pentru care forma factorizată conține un pătrat, de exemplu 2(x − 1)².

    Instrumente similare