Utilia
Κατηγορίες ▾
Γλώσσα: el ▾

Επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθμού

Λύστε κάθε εξίσωση αx² + βx + γ = 0 με διακρίνουσα, ακριβείς ρίζες με ριζικά, μιγαδικές ρίζες, μορφή κορυφής, παραγοντοποίηση και γράφημα.

Εξίσωση αx² + βx + γ = 0

Γίνονται δεκτοί ακέραιοι, δεκαδικοί και κλάσματα όπως 1/2. Ένα κενό β ή γ λογίζεται ως 0.

Παραδείγματα

–

    Λύση βήμα προς βήμα

    Πώς να χρησιμοποιήσετε την επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθμού

    1. Πληκτρολογήστε τους τρεις συντελεστές της αx² + βx + γ = 0 στα πεδία Συντελεστής α, Συντελεστής β και Συντελεστής γ. Γίνονται δεκτοί ακέραιοι, δεκαδικοί και κλάσματα όπως 1/2, ενώ ένα κενό β ή γ λογίζεται ως 0.
    2. Η απάντηση ενημερώνεται καθώς πληκτρολογείτε· η Επίλυση κάνει το ίδιο. Η Εκκαθάριση αδειάζει τα τρία πεδία και η Αντιγραφή αντιγράφει την εξίσωση και τις λύσεις της.
    3. Διαβάστε τις Λύσεις: κάθε ρίζα εμφανίζεται σε ακριβή μορφή και, όταν η ακριβής τιμή δεν είναι σύντομος δεκαδικός, ακολουθεί μια δεκαδική προσέγγιση.
    4. Από κάτω, το εργαλείο εμφανίζει τη Διακρίνουσα Δ, την Κορυφή, τον Άξονα συμμετρίας, το Σημείο τομής με τον άξονα y, την κατεύθυνση προς την οποία ανοίγει η παραβολή και το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. Ακολουθούν οι τρεις Μορφές της συνάρτησης (γενική, κορυφής και παραγοντοποιημένη) και η Γραφική παράσταση της παραβολής.
    5. Η Λύση βήμα προς βήμα επαναλαμβάνει ολόκληρη τη διαδικασία: διακρίνουσα, τετραγωνική ρίζα του Δ, τύπος των ριζών, και οι δύο ρίζες, κορυφή, παραγοντοποίηση και έλεγχος.

    Τα κουμπιά Παραδείγματα φορτώνουν τυπικές περιπτώσεις: δύο ακέραιες ρίζες, μια διπλή ρίζα, μιγαδικές ρίζες και άρρητες ρίζες. Όλα γίνονται στο πρόγραμμα περιήγησής σας και τίποτα από όσα πληκτρολογείτε δεν στέλνεται σε διακομιστή.

    Ο τύπος των ριζών και η διακρίνουσα

    Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει τη μορφή αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0. Οι λύσεις της δίνονται από τον τύπο:

    x = (−β ± √Δ) / (2α), όπου Δ = β² − 4αγ

    Η διακρίνουσα Δ τα καθορίζει όλα:

    • Δ > 0: δύο διακριτές πραγματικές ρίζες. Αν το Δ είναι τέλειο τετράγωνο (και οι συντελεστές ρητοί), οι ρίζες είναι ρητές και το πολυώνυμο παραγοντοποιείται όμορφα, για παράδειγμα x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: μία διπλή ρίζα, x = −β / (2α). Η παραβολή εφάπτεται στον άξονα x στην κορυφή της.
    • Δ < 0: καμία πραγματική ρίζα. Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού είναι φανταστική, √Δ = i√|Δ|, άρα οι ρίζες είναι δύο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, όπως οι −1 ± 2i.

    Το εργαλείο υπολογίζει με ακριβή κλάσματα, επομένως δεν χάνει ποτέ ακρίβεια. Όταν η √Δ δεν είναι ακέραιος, απλοποιεί το ριζικό (√32 = 4√2) και ανάγει το αποτέλεσμα: η x² + 3x + 1 = 0 δίνει x = (−3 ± √5)/2 και η x² − 8 = 0 δίνει x = ±2√2.

    Μορφή κορυφής, παραγοντοποιημένη μορφή και γράφημα

    Η μορφή κορυφής α(x − h)² + k δείχνει απευθείας την κορυφή (h, k), με h = −β / (2α) και k = −Δ / (4α). Η ευθεία x = h είναι ο άξονας συμμετρίας: και οι δύο ρίζες απέχουν την ίδια απόσταση από αυτόν. Όταν α > 0 η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω και το k είναι το ελάχιστό της· όταν α < 0 ανοίγει προς τα κάτω και το k είναι το μέγιστό της.

    Η παραγοντοποιημένη μορφή α(x − x₁)(x − x₂) χρησιμοποιεί τις ρίζες. Με ρητές ρίζες το εργαλείο γράφει παράγοντες με ακέραιους συντελεστές, για παράδειγμα 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Όταν Δ < 0, το πολυώνυμο δεν παραγοντοποιείται στους πραγματικούς αριθμούς και το εργαλείο το αναφέρει πριν δείξει τους μιγαδικούς παράγοντες.

    Το γράφημα σχεδιάζεται υπό κλίμακα γύρω από την κορυφή και τις ρίζες. Τα μπλε σημεία δείχνουν τις πραγματικές ρίζες, το πορτοκαλί σημείο την κορυφή και η διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας.

    Ως τελικό έλεγχο, το εργαλείο εφαρμόζει τους τύπους του Βιέτ: x₁ + x₂ = −β/α και x₁ × x₂ = γ/α.

    Συχνές ερωτήσεις

    Τι συμβαίνει αν α = 0;

    Τότε η εξίσωση είναι γραμμική, βx + γ = 0, και το εργαλείο τη λύνει ως τέτοια: x = −γ / β. Αν και το β είναι 0, είτε κάθε αριθμός είναι λύση (γ = 0) είτε δεν υπάρχει λύση (γ ≠ 0).

    Γιατί παίρνω αποτέλεσμα με i;

    Το γράμμα i είναι η φανταστική μονάδα, με i² = −1. Εμφανίζεται όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική: η παραβολή δεν τέμνει ποτέ τον άξονα x, άρα δεν υπάρχει πραγματική λύση, υπάρχουν όμως δύο μιγαδικές.

    Μπορώ να εισαγάγω δεκαδικούς ή κλάσματα ως συντελεστές;

    Ναι. Πληκτρολογήστε 0,5, 1/3 ή −2,25· ο υπολογισμός μένει ακριβής, επειδή κάθε συντελεστής μετατρέπεται πρώτα σε κλάσμα.

    Πόσο ακριβείς είναι οι δεκαδικές τιμές;

    Η ακριβής μορφή είναι πάντα σωστή. Οι δεκαδικές προσεγγίσεις στρογγυλοποιούνται σε επτά σημαντικά ψηφία, που αρκούν για τις ασκήσεις και για τις περισσότερες πρακτικές χρήσεις.

    Πώς βρίσκω την κορυφή μιας παραβολής;

    Χρησιμοποιήστε h = −β / (2α) και έπειτα k = f(h), που ισούται επίσης με −Δ / (4α). Το εργαλείο δείχνει και τους δύο τύπους με τους δικούς σας αριθμούς στη λύση βήμα προς βήμα.

    Η διπλή ρίζα μετριέται μία ή δύο φορές;

    Ως λύση της εξίσωσης είναι μία μόνο τιμή και εμφανίζεται μία φορά. Ως ρίζα του πολυωνύμου έχει πολλαπλότητα δύο, γι’ αυτό η παραγοντοποιημένη μορφή περιέχει τετράγωνο, όπως 2(x − 1)².

    Σχετικά εργαλεία