Quadratic Equation Solver

Paano gamitin ang quadratic equation solver

1. I-type ang tatlong coefficient ng ax² + bx + c = 0 sa Coefficient a, Coefficient b at Coefficient c. Tinatanggap ang integer, decimal at fraction tulad ng 1/2, at itinuturing na 0 ang walang laman na b o c.
2. Nag-a-update ang sagot habang nagta-type ka; ganoon din ang gagawin ng I-solve. Binubura ng I-clear ang tatlong kahon at kinokopya ng Kopyahin ang equation at ang mga solusyon nito.
3. Basahin ang Mga solusyon: ipinapakita ang bawat ugat sa eksaktong anyo, kasunod ang tinatayang decimal kapag hindi maikling decimal ang eksaktong halaga.
4. Sa ibaba, inililista ng tool ang Discriminant Δ, ang Vertex, ang Axis of symmetry, ang y-intercept, ang direksyon ng pagbukas ng parabola at ang kabuuan at product ng mga ugat. Kasunod ang tatlong Mga anyo ng function (standard, vertex at factored) at ang Graph ng parabola.
5. Inuulit ng Solusyong hakbang-hakbang ang buong proseso: discriminant, square root ng Δ, quadratic formula, parehong ugat, vertex, factored form at pagsusuri.

Naglo-load ang mga button na Mga halimbawa ng karaniwang kaso: dalawang ugat na buong numero, dobleng ugat, complex na ugat at irrational na ugat.

Ang quadratic formula at ang discriminant

May anyong ax² + bx + c = 0 ang quadratic equation na may a ≠ 0. Ibinibigay ng quadratic formula ang mga solusyon nito:

x = (−b ± √Δ) / (2a), kung saan Δ = b² − 4ac

Ang discriminant Δ ang nagpapasya ng lahat:

• Δ > 0: dalawang magkaibang real na ugat. Kung perpektong parisukat ang Δ (at rational ang mga coefficient), rational ang mga ugat at madaling ma-factor ang polynomial, halimbawa x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
• Δ = 0: isang dobleng ugat, x = −b / (2a). Dumadampi ang parabola sa x-axis sa vertex nito.
• Δ < 0: walang real na ugat. Imaginary ang square root ng negatibong numero, √Δ = i√|Δ|, kaya dalawang complex conjugate ang mga ugat, tulad ng −1 ± 2i.

Eksaktong fraction ang gamit ng tool na ito, kaya hindi ito nawawalan ng katumpakan. Kapag hindi buong numero ang √Δ, pinapasimple nito ang radical (√32 = 4√2) at binabawasan ang resulta: ang x² + 3x + 1 = 0 ay may x = (−3 ± √5)/2, at ang x² − 8 = 0 ay may x = ±2√2.

Vertex form, factored form at ang graph

Direktang ipinapakita ng vertex form na a(x − h)² + k ang vertex (h, k), kung saan h = −b / (2a) at k = −Δ / (4a). Ang linyang x = h ang axis of symmetry: magkapareho ang layo ng dalawang ugat mula rito. Kapag a > 0, pataas ang bukas ng parabola at ang k ang pinakamababa nito; kapag a < 0, pababa ang bukas at ang k ang pinakamataas.

Gumagamit ng mga ugat ang factored form na a(x − x₁)(x − x₂). Kung rational ang mga ugat, integer na factor ang isinusulat ng tool, halimbawa 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kapag Δ < 0, hindi ito ma-factor sa mga real na numero, at sasabihin ito ng tool bago ipakita ang mga complex na factor.

Iginuguhit ang graph ayon sa sukat sa paligid ng vertex at ng mga ugat. Minamarkahan ng mga asul na tuldok ang real na ugat, ng kahel na tuldok ang vertex, at ang putol-putol na linya ang axis of symmetry.

Bilang huling pagsusuri, ginagamit ng tool ang mga formula ni Vieta: x₁ + x₂ = −b/a at x₁ × x₂ = c/a.