Andengradsligning – løsninger, diskriminant og graf

Q: Hvad sker der, hvis a = 0?

Så er ligningen en førstegradsligning, bx + c = 0, og værktøjet løser den som sådan: x = −c / b. Hvis b også er 0, er enten alle tal løsninger c = 0 , eller også er der ingen c ≠ 0 .

Q: Hvorfor får jeg et resultat med i?

Bogstavet i er den imaginære enhed med i² = −1. Den optræder, når diskriminanten er negativ: Parablen skærer aldrig x aksen, så der er ingen reel løsning, men der er to komplekse.

Q: Kan jeg indtaste decimaltal eller brøker som koefficienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Udregningen forbliver eksakt, fordi hver koefficient først omregnes til en brøk.

Q: Hvor nøjagtige er decimalværdierne?

Den eksakte form er altid korrekt. Decimaltilnærmelser afrundes til syv betydende cifre, hvilket er rigeligt til lektier og de fleste praktiske formål.

Q: Hvordan finder jeg toppunktet på en parabel?

Brug h = −b / 2a og derefter k = f h , som også er lig med −d / 4a . Værktøjet viser begge formler med dine tal i løsningen trin for trin.

Q: Tæller en dobbeltrod én eller to gange?

Som løsning på ligningen er den én enkelt værdi, der vises én gang. Som rod i polynomiet har den multiplicitet to, og derfor indeholder den faktoriserede form et kvadrat, for eksempel 2 x − 1 ².

Løs andengradsligning

Løs enhver andengradsligning ax² + bx + c = 0 med diskriminant, eksakte rødder, komplekse rødder, toppunktsform, faktorisering og graf.

Ligning ax² + bx + c = 0

a b c

Hele tal, decimaltal og brøker som 1/2 kan bruges. Et tomt b eller c tæller som 0.

Eksempler

–

Løsning trin for trin

Sådan bruger du andengradsløseren

Skriv de tre koefficienter i ax² + bx + c = 0 i Koefficient a, Koefficient b og Koefficient c. Hele tal, decimaltal og brøker som 1/2 kan bruges, og et tomt b eller c tæller som 0.
Svaret opdateres, mens du skriver. Løs gør det samme. Ryd tømmer de tre felter, og Kopiér kopierer ligningen og dens løsninger.
Aflæs Løsninger: Hver rod vises i eksakt form, efterfulgt af en decimaltilnærmelse, når den eksakte værdi ikke er en kort decimalbrøk.
Under løsningerne viser værktøjet Diskriminant d, Toppunkt, Symmetriakse, Skæring med y-aksen, hvilken vej parablen vender, og summen og produktet af rødderne. Derefter følger de tre Funktionens former (standardform, toppunktsform og faktoriseret form) og Parablens graf.
Løsning trin for trin gentager hele udregningen: diskriminant, kvadratrod af d, andengradsformlen, begge rødder, toppunkt, faktoriseret form og en kontrol.

Knapperne under Eksempler indlæser typiske tilfælde: to rødder som hele tal, en dobbeltrod, komplekse rødder og irrationale rødder.

Virker i din browser. Intet, du indtaster, sendes til en server.

Andengradsformlen og diskriminanten

En andengradsligning har formen ax² + bx + c = 0 med a ≠ 0. Løsningerne findes med andengradsformlen:

x = (−b ± √d) / (2a), hvor d = b² − 4ac

Diskriminanten d afgør det hele:

d > 0: to forskellige reelle rødder. Hvis d er et kvadrattal (og koefficienterne er rationale), er rødderne rationale, og polynomiet kan faktoriseres pænt, for eksempel x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
d = 0: én dobbeltrod, x = −b / (2a). Parablen rører x-aksen i sit toppunkt.
d < 0: ingen reel rod. Kvadratroden af et negativt tal er imaginær, √d = i√|d|, så rødderne er to komplekst konjugerede tal som −1 ± 2i.

Dette værktøj regner med eksakte brøker og mister derfor aldrig præcision. Når √d ikke er et helt tal, forenkler det roden (√32 = 4√2) og reducerer resultatet: x² + 3x + 1 = 0 giver x = (−3 ± √5)/2, og x² − 8 = 0 giver x = ±2√2.

Toppunktsform, faktoriseret form og grafen

Toppunktsformen a(x − h)² + k viser toppunktet (h, k) direkte, hvor h = −b / (2a) og k = −d / (4a). Linjen x = h er symmetriaksen: Begge rødder ligger lige langt fra den. Når a > 0, vender parablen opad, og k er dens minimum. Når a < 0, vender den nedad, og k er dens maksimum.

Den faktoriserede form a(x − x₁)(x − x₂) bruger rødderne. Med rationale rødder skriver værktøjet faktorer med hele tal, for eksempel 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Når d < 0, kan polynomiet ikke faktoriseres over de reelle tal, og det siger værktøjet, før det viser de komplekse faktorer.

Grafen tegnes i målestok omkring toppunktet og rødderne. Blå punkter markerer de reelle rødder, det orange punkt markerer toppunktet, og den stiplede linje er symmetriaksen.

Til sidst kontrollerer værktøjet resultatet med Vietas formler: x₁ + x₂ = −b/a og x₁ × x₂ = c/a.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad sker der, hvis a = 0?

Så er ligningen en førstegradsligning, bx + c = 0, og værktøjet løser den som sådan: x = −c / b. Hvis b også er 0, er enten alle tal løsninger (c = 0), eller også er der ingen (c ≠ 0).

Hvorfor får jeg et resultat med i?

Bogstavet i er den imaginære enhed med i² = −1. Den optræder, når diskriminanten er negativ: Parablen skærer aldrig x-aksen, så der er ingen reel løsning, men der er to komplekse.

Kan jeg indtaste decimaltal eller brøker som koefficienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Udregningen forbliver eksakt, fordi hver koefficient først omregnes til en brøk.

Hvor nøjagtige er decimalværdierne?

Den eksakte form er altid korrekt. Decimaltilnærmelser afrundes til syv betydende cifre, hvilket er rigeligt til lektier og de fleste praktiske formål.

Hvordan finder jeg toppunktet på en parabel?

Brug h = −b / (2a) og derefter k = f(h), som også er lig med −d / (4a). Værktøjet viser begge formler med dine tal i løsningen trin for trin.

Tæller en dobbeltrod én eller to gange?

Som løsning på ligningen er den én enkelt værdi, der vises én gang. Som rod i polynomiet har den multiplicitet to, og derfor indeholder den faktoriserede form et kvadrat, for eksempel 2(x − 1)².