Andregradslikning – røtter, diskriminant og graf

Q: Hva skjer hvis a = 0?

Da er likningen en førstegradslikning, bx + c = 0, og kalkulatoren løser den som det: x = −c / b. Hvis b også er 0, er enten alle tall løsninger c = 0 , eller det finnes ingen c ≠ 0 .

Q: Hvorfor får jeg et resultat med i?

Bokstaven i er den imaginære enheten, med i² = −1. Den dukker opp når diskriminanten er negativ: parabelen krysser aldri x aksen, så det finnes ingen reell løsning, men det finnes to komplekse.

Q: Kan jeg skrive inn desimaltall eller brøker som koeffisienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Utregningen forblir eksakt fordi hver koeffisient først gjøres om til en brøk.

Q: Hvor nøyaktige er desimalverdiene?

Den eksakte formen er alltid riktig. Desimaltilnærminger avrundes til syv gjeldende siffer, som er nok til lekser og de fleste praktiske formål.

Q: Hvordan finner jeg toppunktet til en parabel?

Bruk h = −b / 2a , og deretter k = f h , som også er lik −Δ / 4a . Kalkulatoren viser begge formlene med tallene dine i løsningen steg for steg.

Q: Telles den doble roten én eller to ganger?

Som løsning på likningen er den én enkelt verdi, som vises én gang. Som rot i polynomet har den multiplisitet to, og derfor inneholder den faktoriserte formen et kvadrat, for eksempel 2 x − 1 ².

Kalkulator for andregradslikninger

Løs enhver andregradslikning ax² + bx + c = 0 med diskriminant, eksakte røtter, komplekse røtter, toppunktform, faktorisert form og graf.

Likning ax² + bx + c = 0

a b c

Hele tall, desimaltall og brøker som 1/2 godtas. Et tomt b eller c regnes som 0.

Eksempler

–

Løsning steg for steg

Slik bruker du kalkulatoren for andregradslikninger

Skriv inn de tre koeffisientene i ax² + bx + c = 0 i Koeffisient a, Koeffisient b og Koeffisient c. Hele tall, desimaltall og brøker som 1/2 godtas, og et tomt b eller c regnes som 0.
Svaret oppdateres mens du skriver. Løs gjør det samme. Tøm tømmer de tre feltene, og Kopier kopierer likningen og løsningene.
Les av Løsninger: hver rot vises i eksakt form, etterfulgt av en desimaltilnærming når den eksakte verdien ikke er et kort desimaltall.
Under viser kalkulatoren Diskriminant Δ, Toppunkt, Symmetriakse, Skjæring med y-aksen, retningen parabelen åpner seg i, og summen og produktet av røttene. De tre Former av funksjonen (standardform, toppunktform og faktorisert form) og Grafen til parabelen følger.
Løsning steg for steg gjentar hele utregningen: diskriminant, kvadratroten av Δ, abc-formelen, begge røttene, toppunkt, faktorisert form og en kontroll.

Knappene under Eksempler laster typiske tilfeller: to røtter som er hele tall, en dobbel rot, komplekse røtter og irrasjonale røtter. Alt regnes ut i nettleseren din.

Abc-formelen og diskriminanten

En andregradslikning har formen ax² + bx + c = 0 med a ≠ 0. Løsningene er gitt av abc-formelen:

x = (−b ± √Δ) / (2a), der Δ = b² − 4ac

Diskriminanten Δ avgjør alt:

Δ > 0: to ulike reelle røtter. Hvis Δ er et kvadrattall (og koeffisientene er rasjonale), er røttene rasjonale og polynomet lar seg faktorisere pent, for eksempel x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: én dobbel rot, x = −b / (2a). Parabelen tangerer x-aksen i toppunktet.
Δ < 0: ingen reell rot. Kvadratroten av et negativt tall er imaginær, √Δ = i√|Δ|, så røttene er to komplekse konjugerte tall som −1 ± 2i.

Kalkulatoren regner med eksakte brøker og mister derfor aldri presisjon. Når √Δ ikke er et helt tall, forenkler den roten (√32 = 4√2) og forkorter resultatet: x² + 3x + 1 = 0 gir x = (−3 ± √5)/2, og x² − 8 = 0 gir x = ±2√2.

Toppunktform, faktorisert form og grafen

Toppunktformen a(x − h)² + k viser toppunktet (h, k) direkte, med h = −b / (2a) og k = −Δ / (4a). Linjen x = h er symmetriaksen: begge røttene ligger like langt fra den. Når a > 0, åpner parabelen seg oppover, og k er minimum. Når a < 0, åpner den seg nedover, og k er maksimum.

Den faktoriserte formen a(x − x₁)(x − x₂) bruker røttene. Med rasjonale røtter skriver kalkulatoren faktorer med hele tall, for eksempel 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Når Δ < 0, kan polynomet ikke faktoriseres over de reelle tallene, og kalkulatoren sier fra om det før den viser de komplekse faktorene.

Grafen tegnes i målestokk rundt toppunktet og røttene. Blå punkter markerer de reelle røttene, det oransje punktet markerer toppunktet, og den stiplede linjen er symmetriaksen.

Som en siste kontroll bruker kalkulatoren Vietas formler: x₁ + x₂ = −b/a og x₁ × x₂ = c/a.

Ofte stilte spørsmål

Hva skjer hvis a = 0?

Da er likningen en førstegradslikning, bx + c = 0, og kalkulatoren løser den som det: x = −c / b. Hvis b også er 0, er enten alle tall løsninger (c = 0), eller det finnes ingen (c ≠ 0).

Hvorfor får jeg et resultat med i?

Bokstaven i er den imaginære enheten, med i² = −1. Den dukker opp når diskriminanten er negativ: parabelen krysser aldri x-aksen, så det finnes ingen reell løsning, men det finnes to komplekse.

Kan jeg skrive inn desimaltall eller brøker som koeffisienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Utregningen forblir eksakt fordi hver koeffisient først gjøres om til en brøk.

Hvor nøyaktige er desimalverdiene?

Den eksakte formen er alltid riktig. Desimaltilnærminger avrundes til syv gjeldende siffer, som er nok til lekser og de fleste praktiske formål.

Hvordan finner jeg toppunktet til en parabel?

Bruk h = −b / (2a), og deretter k = f(h), som også er lik −Δ / (4a). Kalkulatoren viser begge formlene med tallene dine i løsningen steg for steg.

Telles den doble roten én eller to ganger?

Som løsning på likningen er den én enkelt verdi, som vises én gang. Som rot i polynomet har den multiplisitet to, og derfor inneholder den faktoriserte formen et kvadrat, for eksempel 2(x − 1)².