Kvadratna jednačina: rešavač sa koracima i grafikom

Q: Šta se događa ako je a = 0?

Jednačina je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rešava: x = −c / b. Ako je i b jednako 0, ili je svaki broj rešenje c = 0 ili ga nema c ≠ 0 .

Q: Zašto dobijam rezultat sa i?

Slovo i je imaginarna jedinica, i² = −1. Pojavljuje se kada je diskriminanta negativna: parabola nikada ne seče x osu, pa nema realnog rešenja, ali postoje dva kompleksna.

Q: Mogu li da upišem decimale ili razlomke kao koeficijente?

Da. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; računanje ostaje tačno jer se svaki koeficijent prvo pretvara u razlomak.

Q: Koliko su tačne decimalne vrednosti?

Tačan oblik je uvek ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružene su na sedam značajnih cifara, što je dovoljno za domaće zadatke i većinu praktičnih potreba.

Q: Kako da nađem teme parabole?

Koristi h = −b / 2a , pa k = f h , što je jednako i −Δ / 4a . Alat u rešenju korak po korak prikazuje obe formule sa tvojim brojevima.

Q: Računa li se dvostruki koren jednom ili dvaput?

Kao rešenje jednačine to je jedna vrednost, prikazana jednom. Kao koren polinoma ima višestrukost dva, zato faktorisani oblik sadrži kvadrat, kao 2 x − 1 ².

Rešavač kvadratne jednačine

Reši kvadratnu jednačinu ax² + bx + c = 0: koreni, diskriminanta, teme, faktorisani oblik i grafik parabole, sa tačnim razlomcima i koracima.

Jednačina ax² + bx + c = 0

a b c

Prihvataju se celi brojevi, decimale i razlomci kao 1/2. Prazno b ili c računa se kao 0.

Primeri

–

Rešenje korak po korak

Kako se koristi rešavač kvadratne jednačine

Upiši tri koeficijenta jednačine ax² + bx + c = 0 u Koeficijent a, Koeficijent b i Koeficijent c. Prihvataju se celi brojevi, decimale i razlomci kao 1/2, a prazno b ili c računa se kao 0.
Odgovor se ažurira dok kucaš; Reši radi isto. Očisti briše tri polja, a Kopiraj kopira jednačinu i njena rešenja.
Pročitaj Rešenja: svaki koren je prikazan u tačnom obliku, a iza njega sledi decimalna aproksimacija kada tačna vrednost nije kratak decimalni broj.
Ispod alat navodi Diskriminantu Δ, Teme, Osu simetrije, Presek sa y-osom, smer u kojem je parabola otvorena te zbir i proizvod korena. Slede tri Oblika funkcije (standardni, temeni i faktorisani) i Grafik parabole.
Rešenje korak po korak ponavlja ceo postupak: diskriminantu, kvadratni koren iz Δ, formulu za kvadratnu jednačinu, oba korena, teme, faktorisani oblik i proveru.

Dugmad Primeri učitavaju tipične slučajeve: dva cela korena, dvostruki koren, kompleksne korene i iracionalne korene. Sve se računa u tvom pregledaču i ništa što upišeš ne šalje se na server.

Formula za kvadratnu jednačinu i diskriminanta

Kvadratna jednačina ima oblik ax² + bx + c = 0 uz a ≠ 0. Njena rešenja daje formula:

x = (−b ± √Δ) / (2a), gde je Δ = b² − 4ac

Diskriminanta Δ sve odlučuje:

Δ > 0: dva različita realna korena. Ako je Δ potpun kvadrat (a koeficijenti racionalni), koreni su racionalni i polinom se lepo rastavlja, na primer x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: jedan dvostruki koren, x = −b / (2a). Parabola dodiruje x-osu u svom temenu.
Δ < 0: nema realnog korena. Kvadratni koren negativnog broja je imaginaran, √Δ = i√|Δ|, pa su koreni dva konjugovano kompleksna broja kao −1 ± 2i.

Alat računa tačnim razlomcima, pa nikada ne gubi preciznost. Kada √Δ nije ceo broj, pojednostavljuje koren (√32 = 4√2) i skraćuje rezultat: x² + 3x + 1 = 0 daje x = (−3 ± √5)/2, a x² − 8 = 0 daje x = ±2√2.

Temeni oblik, faktorisani oblik i grafik

Temeni oblik a(x − h)² + k neposredno pokazuje teme (h, k), uz h = −b / (2a) i k = −Δ / (4a). Prava x = h je osa simetrije: oba korena su na istom rastojanju od nje. Kada je a > 0, parabola je otvorena nagore, a k je njen minimum; kada je a < 0, otvorena je nadole, a k je njen maksimum.

Faktorisani oblik a(x − x₁)(x − x₂) koristi korene. Kod racionalnih korena alat piše celobrojne činioce, na primer 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kada je Δ < 0, rastavljanje nad realnim brojevima nije moguće, što alat navodi pre nego što prikaže kompleksne činioce.

Grafik je nacrtan u razmeri oko temena i korena. Plave tačke označavaju realne korene, narandžasta tačka teme, a isprekidana linija osu simetrije.

Za kraj alat proverava Vijetove formule: x₁ + x₂ = −b/a i x₁ × x₂ = c/a.

Česta pitanja

Šta se događa ako je a = 0?

Jednačina je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rešava: x = −c / b. Ako je i b jednako 0, ili je svaki broj rešenje (c = 0) ili ga nema (c ≠ 0).

Zašto dobijam rezultat sa i?

Slovo i je imaginarna jedinica, i² = −1. Pojavljuje se kada je diskriminanta negativna: parabola nikada ne seče x-osu, pa nema realnog rešenja, ali postoje dva kompleksna.

Mogu li da upišem decimale ili razlomke kao koeficijente?

Da. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; računanje ostaje tačno jer se svaki koeficijent prvo pretvara u razlomak.

Koliko su tačne decimalne vrednosti?

Tačan oblik je uvek ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružene su na sedam značajnih cifara, što je dovoljno za domaće zadatke i većinu praktičnih potreba.

Kako da nađem teme parabole?

Koristi h = −b / (2a), pa k = f(h), što je jednako i −Δ / (4a). Alat u rešenju korak po korak prikazuje obe formule sa tvojim brojevima.

Računa li se dvostruki koren jednom ili dvaput?

Kao rešenje jednačine to je jedna vrednost, prikazana jednom. Kao koren polinoma ima višestrukost dva, zato faktorisani oblik sadrži kvadrat, kao 2(x − 1)².