Utilia
Kategorien ▾
Sprache: de ▾

Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 lösen – mit Diskriminante, exakten Wurzeln, komplexen Lösungen, Scheitelpunktform und Graph.

Gleichung ax² + bx + c = 0

Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 sind möglich. Ein leeres b oder c zählt als 0.

Beispiele

–

    Lösungsweg Schritt für Schritt

    So lösen Sie eine quadratische Gleichung

    1. Tragen Sie die drei Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 in Koeffizient a, Koeffizient b und Koeffizient c ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 sind möglich; ein leeres b oder c zählt als 0.
    2. Das Ergebnis wird beim Tippen aktualisiert; Lösen bewirkt dasselbe. Leeren leert die drei Felder, und Kopieren kopiert die Gleichung samt Lösungen.
    3. Lesen Sie die Lösungen ab: Jede Lösung wird exakt angegeben, gefolgt von einem Dezimalnäherungswert, wenn der exakte Wert keine kurze Dezimalzahl ist.
    4. Darunter nennt das Tool die Diskriminante Δ, den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die Öffnungsrichtung der Parabel sowie Summe und Produkt der Lösungen. Es folgen die drei Darstellungen der Funktion (allgemeine Form, Scheitelpunktform und faktorisierte Form) und ein Graph der Parabel.
    5. Der Lösungsweg Schritt für Schritt zeigt die ganze Rechnung: Diskriminante, Wurzel aus Δ, Lösungsformel, beide Lösungen, Scheitelpunkt, faktorisierte Form und eine Probe.

    Die Schaltflächen unter Beispiele laden typische Fälle: zwei ganzzahlige Lösungen, eine doppelte Lösung, komplexe Lösungen und irrationale Lösungen.

    Mitternachtsformel und Diskriminante

    Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihre Lösungen liefert die Lösungsformel, in Deutschland meist abc-Formel oder Mitternachtsformel genannt:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), wobei Δ = b² − 4ac

    Die Diskriminante Δ entscheidet alles:

    • Δ > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist Δ eine Quadratzahl (und sind die Koeffizienten rational), sind die Lösungen rational und das Polynom lässt sich sauber faktorisieren, zum Beispiel x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: eine doppelte Lösung, x = −b / (2a). Die Parabel berührt die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt.
    • Δ < 0: keine reelle Lösung. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist imaginär, √Δ = i√|Δ|, die Lösungen sind also zwei konjugiert komplexe Zahlen wie −1 ± 2i.

    Dieses Tool rechnet mit exakten Brüchen und verliert daher nie an Genauigkeit. Ist √Δ keine ganze Zahl, wird die Wurzel vereinfacht (√32 = 4√2) und das Ergebnis gekürzt: x² + 3x + 1 = 0 ergibt x = (−3 ± √5)/2, und x² − 8 = 0 ergibt x = ±2√2. Die aus der Schule bekannte pq-Formel ist übrigens nur der Sonderfall a = 1 derselben Formel.

    Scheitelpunktform, faktorisierte Form und Graph

    Die Scheitelpunktform a(x − h)² + k zeigt den Scheitelpunkt (h, k) direkt, mit h = −b / (2a) und k = −Δ / (4a). Die Gerade x = h ist die Symmetrieachse: Beide Lösungen liegen gleich weit von ihr entfernt. Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet und k ihr Minimum; für a < 0 ist sie nach unten geöffnet und k ihr Maximum.

    Die faktorisierte Form a(x − x₁)(x − x₂) verwendet die Lösungen. Bei rationalen Lösungen schreibt das Tool ganzzahlige Faktoren, zum Beispiel 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Bei Δ < 0 lässt sich das Polynom über den reellen Zahlen nicht faktorisieren, und das Tool sagt das, bevor es die komplexen Faktoren zeigt.

    Der Graph wird maßstabsgetreu um Scheitelpunkt und Nullstellen gezeichnet. Blaue Punkte markieren die reellen Nullstellen, der orange Punkt den Scheitelpunkt, die gestrichelte Linie ist die Symmetrieachse.

    Zur abschließenden Probe wendet das Tool den Satz von Vieta an: x₁ + x₂ = −b/a und x₁ × x₂ = c/a.

    Häufige Fragen

    Was passiert, wenn a = 0 ist?

    Dann ist die Gleichung linear, bx + c = 0, und das Tool löst sie entsprechend: x = −c / b. Ist auch b gleich 0, ist entweder jede Zahl eine Lösung (c = 0) oder es gibt keine (c ≠ 0).

    Warum enthält mein Ergebnis ein i?

    Der Buchstabe i ist die imaginäre Einheit mit i² = −1. Er erscheint, wenn die Diskriminante negativ ist: Die Parabel schneidet die x-Achse nie, es gibt also keine reelle Lösung, wohl aber zwei komplexe.

    Kann ich Dezimalzahlen oder Brüche als Koeffizienten eingeben?

    Ja. Geben Sie 0,5, 1/3 oder −2,25 ein; die Rechnung bleibt exakt, weil jeder Koeffizient zuerst in einen Bruch umgewandelt wird.

    Wie genau sind die Dezimalwerte?

    Die exakte Form ist immer korrekt. Die Dezimalnäherungen werden auf sieben signifikante Stellen gerundet, was für Hausaufgaben und die meisten praktischen Zwecke reicht.

    Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel?

    Berechnen Sie h = −b / (2a) und dann k = f(h), was auch −Δ / (4a) entspricht. Das Tool zeigt beide Formeln mit Ihren Zahlen im Lösungsweg.

    Wird die doppelte Lösung einmal oder zweimal gezählt?

    Als Lösung der Gleichung ist sie ein einziger Wert und wird einmal angezeigt. Als Nullstelle des Polynoms hat sie die Vielfachheit zwei, deshalb enthält die faktorisierte Form ein Quadrat, etwa 2(x − 1)².

    Ähnliche Tools