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Calcolatrice di permutazioni e combinazioni

Calcola disposizioni (nPr), combinazioni (nCr), fattoriali, ripetizioni e anagrammi in modo esatto, con le formule passo per passo e l'elenco dei casi.

Numeri interi da 0 a 10.000.

Risultato

–

Passo per passo

Elenca i casi

Separa gli elementi con virgole o spazi: n è il loro numero e r viene preso dal campo sopra. Al massimo 50 elementi e r ≤ 20; vengono elencati i primi 500 casi.

    Come usare la calcolatrice di permutazioni e combinazioni

    1. In Cosa contare scegli il tipo di conteggio: Disposizioni nPr (l’ordine conta), Combinazioni nCr (l’ordine non conta), Disposizioni con ripetizione (n^r), Combinazioni con ripetizione, Fattoriale n!, Permutazioni con ripetizione (elementi uguali) oppure Triangolo di Tartaglia.
    2. Inserisci il Numero totale di elementi (n) e, quando richiesto, gli Elementi scelti (r). Per le permutazioni con elementi uguali scrivi in Parola o dimensioni dei gruppi una parola come MISSISSIPPI oppure le dimensioni dei gruppi di elementi identici (3 2 1).
    3. Il risultato compare mentre scrivi; Calcola fa la stessa cosa, Cancella svuota i campi e Copia copia il risultato con la sua notazione, ad esempio C(10, 3) = 120.
    4. Passo per passo mostra la formula, la formula con i tuoi numeri, il prodotto semplificato e il valore finale.
    5. Apri Elenca i casi, scrivi i tuoi Elementi (ad esempio a, b, c, d) e premi Elenca per vedere le disposizioni o i gruppi veri e propri. Vengono mostrati i primi 500 casi.

    Ogni risultato è un numero intero esatto, calcolato con interi a precisione arbitraria. n e r arrivano fino a 10.000: 10.000! ha 35.660 cifre e viene scritto per intero, insieme a un’approssimazione in notazione scientifica e al numero di cifre.

    Nota sui nomi: nella scuola italiana le scelte ordinate senza ripetizione si chiamano disposizioni semplici (in inglese “permutations nPr”), mentre il termine permutazioni indica di solito il riordino di tutti gli n elementi, cioè n!.

    Quale formula usare?

    Decidono due domande: l’ordine conta? Un elemento si può usare più di una volta?

    Situazione L’ordine conta Formula Esempio
    Senza ripetizione sì D(n, r) = n! / (n − r)! podio di 3 su 10 corridori: 720
    Senza ripetizione no C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 numeri su 90 nel Superenalotto: 622.614.630
    Con ripetizione sì n^r PIN di 4 cifre: 10⁴ = 10.000
    Con ripetizione no C(n + r − 1, r) 3 palline tra 5 gusti: 35
    Tutti gli elementi, tutti diversi sì n! ordinare 5 libri: 120
    Tutti gli elementi, alcuni uguali sì n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagrammi di MISSISSIPPI: 34.650

    Una disposizione è una scelta ordinata: ABC e CAB sono diverse. Una combinazione è un insieme: {A, B, C} è lo stesso gruppo in qualunque ordine. Per questo C(n, r) = D(n, r) / r!: ogni gruppo di r elementi si può ordinare in r! modi. Nello strumento la disposizione si scrive P(n, r), come nella notazione internazionale.

    Il triangolo di Tartaglia

    Ogni numero del triangolo di Tartaglia (detto anche di Pascal) è la somma dei due numeri sopra di esso: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). La riga n elenca C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), i coefficienti di (a + b)ⁿ, e la sua somma è 2ⁿ, il numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi. La calcolatrice disegna tutto il triangolo fino alla riga 20 e mostra una singola riga fino alla riga 200.

    Consigli

    • La calcolatrice usa la simmetria C(n, r) = C(n, n − r) per accorciare la moltiplicazione: C(100, 97) viene calcolato come C(100, 3).
    • 0! = 1 per definizione, quindi C(n, 0) = C(n, n) = 1 e P(n, 0) = 1.
    • Con ripetizione r può essere maggiore di n (un codice di 6 caratteri con 2 simboli); senza ripetizione r non deve superare n.

    Domande frequenti

    Che differenza c'è tra nPr e nCr?

    nPr conta le disposizioni ordinate, nCr i gruppi non ordinati. Scegliere un presidente, un segretario e un tesoriere tra 10 persone dà P(10, 3) = 720; scegliere un comitato di 3 persone dà C(10, 3) = 120, sei volte di meno, perché ogni comitato si può ordinare in 3! = 6 modi.

    Come conto gli anagrammi di una parola?

    Scegli Permutazioni con ripetizione (elementi uguali) e scrivi la parola. Le lettere si contano senza distinguere maiuscole e minuscole, e il risultato è n! diviso il fattoriale del numero di ripetizioni di ogni lettera. LETTERA dà 7! / (2! × 2!) = 1.260.

    Perché l'elenco è limitato?

    Il numero di casi cresce in fretta: 10 elementi hanno già 3.628.800 ordinamenti. L’elenco mostra al massimo 500 casi, a partire da un massimo di 50 elementi con r fino a 20, e indica quanti sono in totale.

    Quanto possono essere grandi i numeri?

    n e r arrivano fino a 10.000. Il risultato è sempre esatto; oltre le 15 cifre vengono mostrati anche un’approssimazione come 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (per 100!) e il numero di cifre.

    Come calcolo le probabilità di vincita al lotto?

    Usa le combinazioni: al Superenalotto si scelgono 6 numeri su 90, quindi ci sono C(90, 6) = 622.614.630 sestine possibili e una singola schedina ha 1 probabilità su 622.614.630 di indovinarle tutte. Per un lotto 6 su 49 il conteggio è C(49, 6) = 13.983.816.

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