Calcolo deviazione standard – campione e popolazione

Calcolatrice di deviazione standard

Calcola la deviazione standard di un campione o di una popolazione, con varianza, media, somma dei quadrati, errore standard e tutti i passaggi della formula.

Insieme di dati

Separa i numeri con punti e virgola, spazi o a capo. Scrivi i decimali con la virgola (2,5).

Campione (dividi per n − 1)

Deviazione standard s: –
Varianza s²: –

Popolazione (dividi per n)

Deviazione standard σ: –
Varianza σ²: –

Media x̄: –
Numero di valori n: –
Somma Σx: –
Somma dei quadrati Σ(x − x̄)²: –
Errore standard s/√n: –

Passo per passo

Come usare la calcolatrice di deviazione standard

Scrivi o incolla i tuoi dati nella casella Insieme di dati. Separa i valori con punti e virgola, spazi o a capo; una colonna copiata da un foglio di calcolo funziona direttamente. Scrivi i decimali con la virgola (2,5): su questa pagina la virgola è sempre il separatore decimale, quindi non usarla per separare i numeri.
I risultati si aggiornano mentre scrivi, oppure premi Calcola.
Leggi le due versioni affiancate: Campione (dividi per n − 1) dà la Deviazione standard s e la Varianza s²; Popolazione (dividi per n) dà la Deviazione standard σ e la Varianza σ².
Più sotto trovi anche la Media x̄, il Numero di valori n, la Somma Σx, la Somma dei quadrati Σ(x − x̄)² e l’Errore standard s/√n.
Il riquadro Passo per passo scrive la formula con i tuoi numeri: la media, ogni scarto al quadrato, la loro somma, poi le varianze e le radici quadrate. Copia copia tutti i risultati come testo.

Campione o popolazione?

Usa la formula della popolazione quando i tuoi dati comprendono tutti i membri del gruppo che ti interessa: le altezze di tutti i 24 alunni di una classe, i punteggi di tutte le partite di una stagione. Usa la formula del campione quando i tuoi dati sono un sottoinsieme usato per stimare un gruppo più grande: 50 clienti intervistati su migliaia, dieci misure di un processo che si potrebbe ripetere all’infinito.

In pratica, se hai dubbi, la deviazione standard campionaria s è di solito quella che si aspettano un insegnante, una relazione di laboratorio o un programma di statistica (ad esempio DEV.ST.C nei fogli di calcolo). La versione della popolazione corrisponde a DEV.ST.P. In italiano la deviazione standard si chiama anche scarto quadratico medio.

Le formule

Con n valori x₁ … xₙ e la loro media x̄ = Σx ÷ n:

Somma degli scarti al quadrato: SS = Σ(x − x̄)²
Varianza della popolazione: σ² = SS ÷ n, e deviazione standard della popolazione σ = √σ²
Varianza campionaria: s² = SS ÷ (n − 1), e deviazione standard campionaria s = √s²
Errore standard della media: s ÷ √n

Dividere per n − 1 invece che per n (correzione di Bessel) compensa il fatto che gli scarti si misurano dalla media del campione stesso, che è sempre un po’ più vicina ai dati della media vera. Senza questa correzione la varianza campionaria sottostimerebbe in media la varianza della popolazione.

Esempio svolto. Per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la media è 40 ÷ 8 = 5. Gli scarti al quadrato sono 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, la cui somma è 32. La varianza della popolazione è 32 ÷ 8 = 4, quindi σ = 2. La varianza campionaria è 32 ÷ 7 ≈ 4,571, quindi s ≈ 2,138.

Precisa anche con numeri grandi

La scorciatoia dei libri di testo Σx² − (Σx)² ÷ n sottrae due numeri enormi e quasi uguali e può perdere tutta la sua precisione, ad esempio con timestamp o valori intorno al miliardo. Questo strumento usa invece l’algoritmo di Welford: aggiorna la media e la somma degli scarti al quadrato un valore alla volta, così il risultato resta preciso anche quando i valori hanno in comune un grande scostamento.

Domande frequenti

Cosa mi dice la deviazione standard?

Misura quanto i valori si allontanano di solito dalla media, nella stessa unità dei dati. Una deviazione standard piccola significa che i valori sono raggruppati; una grande, che sono dispersi. Per dati con una distribuzione all’incirca a campana, circa il 68% dei valori cade entro una deviazione standard dalla media.

Che differenza c'è tra varianza e deviazione standard?

La varianza è la media degli scarti al quadrato, quindi la sua unità è al quadrato (cm², €²). La deviazione standard è la sua radice quadrata, che la riporta all’unità dei dati e la rende più facile da interpretare.

Perché non c'è la deviazione standard campionaria con un solo valore?

La formula campionaria divide per n − 1, che vale zero quando n = 1. Un solo valore non dice nulla sulla dispersione, quindi lo strumento mostra i valori della popolazione (entrambi zero) e lascia vuoti quelli campionari.

La deviazione standard può essere negativa?

No. È la radice quadrata di una media di quadrati, quindi è sempre zero o positiva. Vale zero solo quando tutti i valori sono identici.

Perché il mio risultato è leggermente diverso da quello della mia calcolatrice?

Controlla se la tua calcolatrice mostra la versione campionaria (s, σₙ₋₁) o quella della popolazione (σ, σₙ). Qui i risultati sono mostrati con al massimo 10 cifre significative.