Standardabweichung berechnen

Q: Warum weicht mein Ergebnis leicht von meinem Taschenrechner ab?

Prüfen Sie, ob Ihr Taschenrechner die Stichprobenvariante s, σₙ₋₁ oder die Variante für die Grundgesamtheit σ, σₙ anzeigt. Die Ergebnisse hier werden mit bis zu 10 signifikanten Stellen angezeigt.

Standardabweichung für Stichprobe und Grundgesamtheit berechnen – mit Varianz, Mittelwert, Quadratsumme, Standardfehler und jedem Rechenschritt.

Datensatz

Trennen Sie die Zahlen durch Semikolons, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche. Dezimalzahlen schreiben Sie mit Komma (2,5).

Stichprobe (Division durch n − 1)

Standardabweichung s: –
Varianz s²: –

Grundgesamtheit (Division durch n)

Standardabweichung σ: –
Varianz σ²: –

Mittelwert x̄: –
Anzahl n: –
Summe Σx: –
Quadratsumme Σ(x − x̄)²: –
Standardfehler s/√n: –

Schritt für Schritt

So berechnen Sie die Standardabweichung

Tippen oder fügen Sie Ihre Daten in das Feld Datensatz ein. Trennen Sie die Werte durch Semikolons, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche; eine aus einer Tabellenkalkulation kopierte Spalte funktioniert direkt. Dezimalzahlen schreiben Sie mit Komma (2,5) – deshalb trennt ein Komma hier keine Werte.
Die Ergebnisse werden beim Tippen aktualisiert, oder Sie klicken auf Berechnen.
Lesen Sie beide Varianten nebeneinander ab: Stichprobe (Division durch n − 1) liefert Standardabweichung s und Varianz s²; Grundgesamtheit (Division durch n) liefert Standardabweichung σ und Varianz σ².
Darunter erhalten Sie außerdem Mittelwert x̄, Anzahl n, Summe Σx, Quadratsumme Σ(x − x̄)² und Standardfehler s/√n.
Der Bereich Schritt für Schritt schreibt die Formel mit Ihren Zahlen aus: Mittelwert, jede quadrierte Abweichung, deren Summe, dann die Varianzen und die Wurzeln. Kopieren kopiert alle Ergebnisse als Text.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Verwenden Sie die Formel für die Grundgesamtheit, wenn Ihre Daten jedes Mitglied der Gruppe enthalten, um die es geht: die Körpergröße aller 24 Schülerinnen und Schüler einer Klasse, die Ergebnisse aller Spiele einer Saison. Verwenden Sie die Formel für die Stichprobe, wenn Ihre Daten nur ein Ausschnitt sind, mit dem Sie auf eine größere Gruppe schließen wollen: 50 befragte Kunden von Tausenden, zehn Messungen eines Prozesses, der sich beliebig oft wiederholen ließe.

Im Zweifel ist die Stichprobenstandardabweichung s meist das, was Lehrkräfte, Laborberichte oder Statistikprogramme erwarten – in Tabellenkalkulationen etwa STABW.S (STDEV.S). Die Variante für die Grundgesamtheit entspricht STABW.N (STDEV.P).

Die Formeln

Mit n Werten x₁ … xₙ und ihrem Mittelwert x̄ = Σx ÷ n:

Summe der quadrierten Abweichungen: SS = Σ(x − x̄)²
Varianz der Grundgesamtheit: σ² = SS ÷ n, Standardabweichung der Grundgesamtheit σ = √σ²
Stichprobenvarianz: s² = SS ÷ (n − 1), Stichprobenstandardabweichung s = √s²
Standardfehler des Mittelwerts: s ÷ √n

Die Division durch n − 1 statt durch n (Bessel-Korrektur) gleicht aus, dass die Abweichungen vom eigenen Mittelwert der Stichprobe gemessen werden, der immer etwas näher an den Daten liegt als der wahre Mittelwert. Ohne sie würde die Stichprobenvarianz die Varianz der Grundgesamtheit im Mittel unterschätzen.

Rechenbeispiel. Für 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 ist der Mittelwert 40 ÷ 8 = 5. Die quadrierten Abweichungen sind 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16, ihre Summe ist 32. Die Varianz der Grundgesamtheit ist 32 ÷ 8 = 4, also σ = 2. Die Stichprobenvarianz ist 32 ÷ 7 ≈ 4,571, also s ≈ 2,138.

Genau auch bei großen Zahlen

Die Lehrbuch-Abkürzung Σx² − (Σx)² ÷ n subtrahiert zwei riesige, fast gleiche Zahlen und kann dabei ihre gesamte Genauigkeit verlieren, etwa bei Zeitstempeln oder Werten um eine Milliarde. Dieses Tool verwendet stattdessen den Welford-Algorithmus: Er aktualisiert Mittelwert und Quadratsumme Wert für Wert und bleibt so auch dann genau, wenn alle Werte einen großen gemeinsamen Versatz haben.

Häufige Fragen

Was sagt die Standardabweichung aus?

Sie misst, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen, in derselben Einheit wie die Daten. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng beieinander liegen; eine große, dass sie weit streuen. Bei annähernd glockenförmig verteilten Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung, ihre Einheit ist daher quadriert (cm², €²). Die Standardabweichung ist ihre Wurzel, bringt sie also zurück in die Einheit der Daten und ist leichter zu deuten.

Warum gibt es für einen einzelnen Wert keine Stichprobenstandardabweichung?

Die Stichprobenformel teilt durch n − 1, und das ist bei n = 1 null. Ein einzelner Wert sagt nichts über die Streuung aus, daher zeigt das Tool die Werte der Grundgesamtheit (beide null) und lässt die Stichprobenwerte leer.

Kann die Standardabweichung negativ sein?

Nein. Sie ist die Wurzel aus einem Mittelwert von Quadraten und daher immer null oder positiv. Null ist sie nur, wenn alle Werte gleich sind.

Warum weicht mein Ergebnis leicht von meinem Taschenrechner ab?

Prüfen Sie, ob Ihr Taschenrechner die Stichprobenvariante (s, σₙ₋₁) oder die Variante für die Grundgesamtheit (σ, σₙ) anzeigt. Die Ergebnisse hier werden mit bis zu 10 signifikanten Stellen angezeigt.