Směrodatná odchylka

Jak používat kalkulačku směrodatné odchylky

1. Napiš nebo vlož data do pole Datový soubor. Hodnoty odděl mezerami, středníky nebo novými řádky; sloupec zkopírovaný z tabulky funguje přímo. Desetinná místa piš s čárkou (2,5).
2. Výsledky se aktualizují při psaní, nebo stiskni Vypočítat.
3. Přečti si obě verze vedle sebe: Výběr (dělí se n − 1) dává Směrodatnou odchylku s a Rozptyl s²; Základní soubor (dělí se n) dává Směrodatnou odchylku σ a Rozptyl σ².
4. Níže najdeš také Průměr x̄, Počet n, Součet Σx, Součet čtverců Σ(x − x̄)² a Směrodatnou chybu s/√n.
5. Panel Postup krok za krokem vypisuje vzorec s tvými čísly: průměr, každou druhou mocninu odchylky, jejich součet, poté rozptyly a odmocniny. Kopírovat zkopíruje všechny výsledky jako text.

Všechno běží ve tvém prohlížeči a nic, co zadáš, se neodesílá na server.

Výběr, nebo základní soubor?

Vzorec pro základní soubor použij, když data obsahují každého člena skupiny, která tě zajímá: výšky všech 24 žáků jedné třídy, výsledky všech zápasů sezóny. Vzorec pro výběr použij, když jsou data podmnožinou sloužící k odhadu větší skupiny: 50 dotázaných zákazníků z tisíců, deset měření procesu, který lze opakovat donekonečna.

V praxi, když si nejsi jistý(á), je obvykle očekávána výběrová směrodatná odchylka s, a to učitelem, laboratorním protokolem nebo statistickým programem (například STDEV.S v tabulkových procesorech). Verze pro základní soubor odpovídá funkci STDEV.P.

Vzorce

Pro n hodnot x₁ … xₙ a jejich průměr x̄ = Σx ÷ n:

• Součet druhých mocnin odchylek: SS = Σ(x − x̄)²
• Rozptyl základního souboru: σ² = SS ÷ n a směrodatná odchylka základního souboru σ = √σ²
• Výběrový rozptyl: s² = SS ÷ (n − 1) a výběrová směrodatná odchylka s = √s²
• Směrodatná chyba průměru: s ÷ √n

Dělení n − 1 místo n (Besselova korekce) vyrovnává to, že se odchylky měří od vlastního průměru výběru, který je vždy o něco blíž datům než skutečný průměr. Bez korekce by výběrový rozptyl v průměru podceňoval rozptyl základního souboru.

Vzorový příklad. Pro 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: průměr je 40 ÷ 8 = 5. Druhé mocniny odchylek jsou 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 a 16, jejich součet je 32. Rozptyl základního souboru je 32 ÷ 8 = 4, takže σ = 2. Výběrový rozptyl je 32 ÷ 7 ≈ 4,571, takže s ≈ 2,138.

Přesné i u velkých čísel

Učebnicová zkratka Σx² − (Σx)² ÷ n odečítá dvě obrovská, téměř stejná čísla a může ztratit veškerou přesnost, například u časových značek nebo hodnot kolem jedné miliardy. Tento nástroj místo toho používá Welfordův algoritmus: aktualizuje průměr a součet druhých mocnin odchylek po jedné hodnotě, takže výsledek zůstane přesný, i když mají hodnoty velký společný posun.