Standardavvik – regn ut for utvalg og populasjon

Q: Hvorfor avviker resultatet litt fra kalkulatoren min?

Kontroller om kalkulatoren din viser utvalgsversjonen s, σₙ₋₁ eller populasjonsversjonen σ, σₙ . Resultatene her vises med opptil 10 gjeldende siffer.

Standardavvik-kalkulator

Kalkulator for standardavvik for utvalg og populasjon. Få varians, gjennomsnitt, kvadratsum og standardfeil, med hvert steg i formelen vist.

Datasett

Skill tallene med mellomrom, semikolon eller linjeskift. Bruk komma for desimaler (2,5).

Utvalg (del på n − 1)

Standardavvik s: –
Varians s²: –

Populasjon (del på n)

Standardavvik σ: –
Varians σ²: –

Gjennomsnitt x̄: –
Antall n: –
Sum Σx: –
Kvadratsum Σ(x − x̄)²: –
Standardfeil s/√n: –

Steg for steg

Slik bruker du kalkulatoren for standardavvik

Skriv eller lim inn dataene dine i Datasett-feltet. Skill verdiene med mellomrom, semikolon eller linjeskift. En kolonne kopiert fra et regneark fungerer rett ut. Bruk komma for desimaler (2,5).
Resultatene oppdateres mens du skriver, eller du kan trykke Beregn.
Les begge variantene side om side: Utvalg (del på n − 1) gir Standardavvik s og Varians s², og Populasjon (del på n) gir Standardavvik σ og Varians σ².
Under finner du også Gjennomsnitt x̄, Antall n, Sum Σx, Kvadratsum Σ(x − x̄)² og Standardfeil s/√n.
Panelet Steg for steg skriver ut formelen med tallene dine: gjennomsnittet, hvert kvadrerte avvik, summen av dem, og deretter variansene og kvadratrøttene. Kopier kopierer alle resultatene som tekst.

Alt regnes ut i nettleseren din. Ingenting du skriver inn, sendes til en server.

Utvalg eller populasjon?

Bruk populasjonsformelen når dataene dine omfatter alle medlemmene i gruppen du er opptatt av: høyden til alle 24 elevene i én klasse, poengsummene i hver kamp i en sesong. Bruk utvalgsformelen når dataene er en delmengde som brukes til å anslå en større gruppe: 50 kunder spurt av tusenvis, ti målinger av en prosess som kunne gjentas i det uendelige.

I praksis er utvalgsstandardavviket s vanligvis det en lærer, en laboratorierapport eller et statistikkprogram (for eksempel STDAV.S i regneark) forventer. Populasjonsversjonen tilsvarer STDAV.P.

Formlene

Med n verdier x₁ … xₙ og gjennomsnittet x̄ = Σx ÷ n:

Sum av kvadrerte avvik: SS = Σ(x − x̄)²
Populasjonsvarians: σ² = SS ÷ n, og populasjonsstandardavvik σ = √σ²
Utvalgsvarians: s² = SS ÷ (n − 1), og utvalgsstandardavvik s = √s²
Standardfeil for gjennomsnittet: s ÷ √n

Å dele på n − 1 i stedet for n (Bessels korreksjon) veier opp for at avvikene måles fra utvalgets eget gjennomsnitt, som alltid ligger litt nærmere dataene enn det sanne gjennomsnittet. Uten korreksjonen ville utvalgsvariansen i gjennomsnitt undervurdere populasjonsvariansen.

Regneeksempel. For 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: gjennomsnittet er 40 ÷ 8 = 5. De kvadrerte avvikene er 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 og 16, med summen 32. Populasjonsvariansen er 32 ÷ 8 = 4, så σ = 2. Utvalgsvariansen er 32 ÷ 7 ≈ 4,571, så s ≈ 2,138.

Nøyaktig også med store tall

Snarveien fra læreboken, Σx² − (Σx)² ÷ n, trekker to enorme, nesten like tall fra hverandre og kan miste all presisjon, for eksempel med tidsstempler eller verdier rundt én milliard. Kalkulatoren bruker i stedet Welfords algoritme: den oppdaterer gjennomsnittet og summen av kvadrerte avvik én verdi om gangen, noe som gir et nøyaktig resultat selv når verdiene har et stort felles avvik fra null.

Ofte stilte spørsmål

Hva forteller standardavviket meg?

Det måler hvor langt verdiene typisk ligger fra gjennomsnittet, i samme enhet som dataene. Et lite standardavvik betyr at verdiene ligger tett samlet, og et stort betyr at de er spredt. For data som er omtrent klokkeformede, ligger omtrent 68 % av verdiene innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet.

Hva er forskjellen på varians og standardavvik?

Variansen er det gjennomsnittlige kvadrerte avviket, så enheten er kvadrert (cm², kr²). Standardavviket er kvadratroten av den, som bringer det tilbake til dataenes enhet og gjør det lettere å tolke.

Hvorfor finnes det ikke noe utvalgsstandardavvik for én enkelt verdi?

Utvalgsformelen deler på n − 1, som er null når n = 1. Én verdi sier ingenting om spredningen, så kalkulatoren viser populasjonsverdiene (begge null) og lar utvalgsverdiene stå tomme.

Kan standardavviket være negativt?

Nei. Det er kvadratroten av et gjennomsnitt av kvadrater, så det er alltid null eller positivt. Det er null bare når alle verdiene er like.

Hvorfor avviker resultatet litt fra kalkulatoren min?

Kontroller om kalkulatoren din viser utvalgsversjonen (s, σₙ₋₁) eller populasjonsversjonen (σ, σₙ). Resultatene her vises med opptil 10 gjeldende siffer.