حاسبة الانحراف المعياري

كيفية استخدام حاسبة الانحراف المعياري

1. اكتب بياناتك أو الصقها في حقل مجموعة البيانات. افصل بين القيم بفواصل (الفاصلة العربية «،» أو اللاتينية «,») أو مسافات أو فواصل منقوطة أو أسطر جديدة؛ ويعمل عمود منسوخ من جدول بيانات مباشرة. استخدم النقطة للكسور العشرية (2.5).
2. تتحدّث النتائج أثناء الكتابة، أو اضغط احسب.
3. اقرأ النسختين جنبًا إلى جنب: يعطي قسم العينة (القسمة على n − 1) قيمة الانحراف المعياري s والتباين s²؛ ويعطي قسم المجتمع (القسمة على n) قيمة الانحراف المعياري σ والتباين σ².
4. ستحصل تحتها أيضًا على المتوسط x̄، والعدد n، والمجموع Σx، ومجموع المربعات Σ(x − x̄)²، والخطأ المعياري s/√n.
5. تكتب لوحة خطوة بخطوة القانون بأرقامك: المتوسط، ثم مربع كل انحراف، ثم مجموعها، ثم التباينات والجذور التربيعية. وينسخ زر نسخ كل النتائج نصًا.

العينة أم المجتمع؟

استخدم قانون المجتمع حين تضم بياناتك كل أفراد المجموعة التي تهمك: أطوال كل تلاميذ فصل واحد البالغ عددهم 24، أو نتائج كل مباريات موسم كامل. واستخدم قانون العينة حين تكون بياناتك جزءًا يُستعمل لتقدير مجموعة أكبر: 50 عميلًا استُطلعت آراؤهم من بين الآلاف، أو عشرة قياسات لعملية يمكن تكرارها بلا نهاية.

عمليًا، إن لم تكن متأكدًا، فالانحراف المعياري للعينة s هو عادة ما ينتظره المعلم أو تقرير المختبر أو البرنامج الإحصائي (مثل الدالة STDEV.S في جداول البيانات). أما نسخة المجتمع فتقابل الدالة STDEV.P.

القوانين

مع n قيمة x₁ … xₙ ومتوسطها x̄ = Σx ÷ n:

• مجموع مربعات الانحرافات: SS = Σ(x − x̄)²
• تباين المجتمع: σ² = SS ÷ n، والانحراف المعياري للمجتمع σ = √σ²
• تباين العينة: s² = SS ÷ (n − 1)، والانحراف المعياري للعينة s = √s²
• الخطأ المعياري للمتوسط: s ÷ √n

القسمة على n − 1 بدلًا من n (تصحيح بيسل) تعوّض كون الانحرافات تُقاس من متوسط العينة نفسها، وهو دائمًا أقرب قليلًا إلى البيانات من المتوسط الحقيقي. ودون هذا التصحيح يقلّل تباين العينة من تقدير تباين المجتمع في المتوسط.

مثال محلول. للقيم 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9: المتوسط 40 ÷ 8 = 5. ومربعات الانحرافات هي 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ومجموعها 32. تباين المجتمع 32 ÷ 8 = 4، إذن σ = 2. وتباين العينة 32 ÷ 7 ≈ 4.571، إذن s ≈ 2.138.

دقة حتى مع الأعداد الكبيرة

الطريقة المختصرة الشائعة في الكتب Σx² − (Σx)² ÷ n تطرح عددين ضخمين متقاربين جدًا، وقد تفقد دقتها كلها، كما في الطوابع الزمنية أو القيم القريبة من مليار. لذا تستخدم هذه الأداة خوارزمية ويلفورد (Welford): فهي تحدّث المتوسط ومجموع مربعات الانحرافات قيمةً بعد قيمة، فتبقى النتيجة دقيقة حتى حين تشترك القيم في إزاحة كبيرة.