Utilia
Kategorie ▾
Język: pl ▾

Kalkulator odchylenia standardowego

Kalkulator odchylenia standardowego dla próby i populacji. Podaje wariancję, średnią, sumę kwadratów i błąd standardowy z każdym krokiem wzoru.

Oddziel liczby średnikami, spacjami lub nowymi wierszami. Ułamki dziesiętne zapisuj z przecinkiem (2,5).

Próba (dzielenie przez n − 1)

Odchylenie standardowe s
–
Wariancja s²
–

Populacja (dzielenie przez n)

Odchylenie standardowe σ
–
Wariancja σ²
–
Średnia x̄
–
Liczebność n
–
Suma Σx
–
Suma kwadratów Σ(x − x̄)²
–
Błąd standardowy s/√n
–

Krok po kroku

Jak korzystać z kalkulatora odchylenia standardowego

  1. Wpisz lub wklej dane w polu Zbiór danych. Oddziel wartości średnikami, spacjami lub nowymi wierszami; kolumna skopiowana z arkusza kalkulacyjnego działa od razu. Ułamki dziesiętne zapisuj z przecinkiem (2,5) – dlatego przecinek nie służy tu do oddzielania liczb.
  2. Wyniki aktualizują się podczas pisania; możesz też nacisnąć Oblicz.
  3. Obie wersje widać obok siebie: Próba (dzielenie przez n − 1) daje Odchylenie standardowe s i Wariancja s², a Populacja (dzielenie przez n) – Odchylenie standardowe σ i Wariancja σ².
  4. Poniżej znajdziesz też Średnia x̄, Liczebność n, Suma Σx, Suma kwadratów Σ(x − x̄)² oraz Błąd standardowy s/√n.
  5. Panel Krok po kroku rozpisuje wzór z twoimi liczbami: średnią, każdy kwadrat odchylenia, ich sumę, a następnie wariancje i pierwiastki. Kopiuj kopiuje wszystkie wyniki jako tekst.

Dane nie opuszczają twojej przeglądarki – nic nie jest wysyłane na serwer.

Próba czy populacja?

Użyj wzoru dla populacji, gdy dane obejmują każdego członka badanej grupy: wzrost wszystkich 24 uczniów jednej klasy, wyniki każdego meczu w sezonie. Użyj wzoru dla próby, gdy dane są podzbiorem służącym do oszacowania większej grupy: 50 ankietowanych klientów spośród tysięcy, dziesięć pomiarów procesu, który można powtarzać bez końca.

W praktyce, jeśli nie masz pewności, nauczyciel, sprawozdanie laboratoryjne czy program statystyczny zwykle oczekują odchylenia standardowego z próby s (np. funkcja ODCH.STANDARD.PRÓBKI w arkuszu kalkulacyjnym). Wersja dla populacji odpowiada funkcji ODCH.STAND.POPUL.

Wzory

Dla n wartości x₁ … xₙ i ich średniej x̄ = Σx ÷ n:

  • Suma kwadratów odchyleń: SS = Σ(x − x̄)²
  • Wariancja populacji: σ² = SS ÷ n, a odchylenie standardowe populacji σ = √σ²
  • Wariancja z próby: s² = SS ÷ (n − 1), a odchylenie standardowe z próby s = √s²
  • Błąd standardowy średniej: s ÷ √n

Dzielenie przez n − 1 zamiast przez n (poprawka Bessela) kompensuje to, że odchylenia mierzy się od średniej samej próby, która zawsze leży nieco bliżej danych niż prawdziwa średnia. Bez tej poprawki wariancja z próby średnio zaniżałaby wariancję populacji.

Przykład. Dla 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 średnia wynosi 40 ÷ 8 = 5. Kwadraty odchyleń to 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 i 16, a ich suma to 32. Wariancja populacji wynosi 32 ÷ 8 = 4, więc σ = 2. Wariancja z próby to 32 ÷ 7 ≈ 4,571, więc s ≈ 2,138.

Dokładnie nawet przy dużych liczbach

Szkolny skrót Σx² − (Σx)² ÷ n odejmuje od siebie dwie ogromne, prawie równe liczby i może stracić całą dokładność, np. przy znacznikach czasu albo wartościach rzędu miliarda. To narzędzie korzysta zamiast tego z algorytmu Welforda: aktualizuje średnią i sumę kwadratów odchyleń po jednej wartości, dzięki czemu wynik pozostaje dokładny nawet wtedy, gdy wartości mają wspólne duże przesunięcie.

Najczęściej zadawane pytania

Co mówi odchylenie standardowe?

Mierzy, jak daleko wartości typowo leżą od średniej, w tej samej jednostce co dane. Małe odchylenie standardowe oznacza, że wartości są skupione; duże – że są rozproszone. Dla danych o rozkładzie zbliżonym do normalnego ok. 68% wartości leży w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego?

Wariancja to średni kwadrat odchylenia, więc jej jednostka jest podniesiona do kwadratu (cm², zł²). Odchylenie standardowe to jej pierwiastek, który przywraca jednostkę danych i ułatwia interpretację.

Dlaczego dla jednej wartości nie ma odchylenia z próby?

Wzór dla próby dzieli przez n − 1, co przy n = 1 daje zero. Jedna wartość nie mówi nic o rozrzucie, więc narzędzie pokazuje wartości dla populacji (obie równe zero), a pola dla próby zostawia puste.

Czy odchylenie standardowe może być ujemne?

Nie. To pierwiastek ze średniej kwadratów, więc zawsze jest zerem lub liczbą dodatnią. Zero wychodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są identyczne.

Dlaczego mój wynik nieco różni się od wyniku z kalkulatora?

Sprawdź, czy twój kalkulator pokazuje wersję dla próby (s, σₙ₋₁), czy dla populacji (σ, σₙ). Wyniki są tu pokazywane z dokładnością do 10 cyfr znaczących.

Podobne narzędzia