Calculateur du théorème de Pythagore

Comment utiliser cet outil

1. Saisissez les deux longueurs connues dans Côté a, Côté b et Hypoténuse c, et laissez vide le côté à calculer. Vous pouvez taper des entiers, des décimaux avec virgule (2,5) ou des fractions (3/2).
2. Choisissez si vous le souhaitez une Unité (mm, cm, m, km, in, ft, yd ou mi). Elle s’ajoute simplement aux résultats, le calcul reste identique.
3. Le résultat s’affiche pendant la saisie (le bouton Calculer fait de même). Côté manquant donne la valeur décimale et Valeur exacte la racine simplifiée lorsque le côté n’est ni entier ni décimal fini, par exemple 5√2.
4. En dessous figurent l’Aire, le Périmètre et les deux angles aigus, une indication sur la présence d’un triplet pythagoricien, puis tout le raisonnement dans Étapes du calcul.
5. Le schéma se redessine à l’échelle, le côté cherché apparaissant en pointillés et en couleur. Copier copie le résultat, Effacer vide les trois cases.

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long côté. Les deux autres côtés, a et b, forment l’angle droit. Le théorème affirme que :

a² + b² = c²

Autrement dit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On en déduit chaque longueur :

• l’hypoténuse : c = √(a² + b²) ;
• un côté de l’angle droit : a = √(c² − b²) ou b = √(c² − a²).

Comme on soustrait pour trouver un côté de l’angle droit, l’hypoténuse doit être strictement plus longue que le côté connu. Sinon, aucun triangle rectangle ne correspond aux données et l’outil vous le signale.

Un résultat exact, avec racine carrée

Cet outil calcule avec des fractions exactes : il peut donc donner la réponse sous forme de racine simplifiée, et pas seulement une valeur arrondie. Avec deux côtés de 5, c² = 25 + 25 = 50 ; comme 50 = 5² × 2, on obtient c = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Avec un côté de 1 et une hypoténuse de 2, l’autre côté vaut √3 et l’aire √3/2. Les fractions suivent la même règle : des côtés de 1/2 et 1/3 donnent c = √13/6.

La forme exacte est celle qu’on attend en général dans un devoir de géométrie au collège ; la valeur décimale sert plutôt pour couper une planche ou tracer un mur. L’aire et le périmètre sont eux aussi donnés en valeur exacte, par exemple 10 + 5√2 pour le périmètre du triangle 5-5.

Les triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient a² + b² = c². Les plus connus sont 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et 7-24-25. Un triplet est dit primitif lorsque ses trois nombres n’ont aucun diviseur commun. En multipliant un triplet primitif par un entier, on en obtient un autre : 6-8-10 vaut 2 × (3-4-5) et 9-12-15 vaut 3 × (3-4-5). Quand les trois côtés sont entiers, l’outil indique s’il s’agit d’un triplet primitif ou d’un multiple.

C’est la fameuse « corde à 13 nœuds » des bâtisseurs : 3 m sur un mur, 4 m sur l’autre et une diagonale de 5 m exactement garantissent un angle droit.

Angles, aire et périmètre

Une fois les trois côtés connus, tout le reste du triangle rectangle s’en déduit. L’aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit, a × b ÷ 2. Le périmètre vaut a + b + c. L’angle aigu α, opposé au côté a, se calcule par α = arctan(a ÷ b), et l’autre angle aigu vaut β = 90° − α. Pour un triangle quelconque, sans angle droit, il faut passer par la loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi).