Kalkulator twierdzenia Pitagorasa

Jak korzystać z kalkulatora twierdzenia Pitagorasa

1. Wpisz dwa znane boki w polach Przyprostokątna a, Przyprostokątna b i Przeciwprostokątna c, a szukany bok zostaw pusty. Możesz wpisywać liczby całkowite, dziesiętne, np. 2,5, albo ułamki, np. 3/2.
2. Opcjonalnie wybierz Jednostka (mm, cm, m, km, in, ft, yd lub mi). Jest ona tylko dopisywana do wyników – obliczenia się nie zmieniają.
3. Odpowiedź pojawia się podczas pisania (przycisk Oblicz robi to samo). Brakujący bok pokazuje wartość dziesiętną, a Wartość dokładna – uproszczony pierwiastek, gdy bok nie jest liczbą całkowitą ani skończonym ułamkiem dziesiętnym, np. 5√2.
4. Poniżej znajdziesz Pole, Obwód i oba kąty ostre, informację, czy trzy boki tworzą trójkę pitagorejską, oraz pełne obliczenia w sekcji Krok po kroku.
5. Rysunek obok odtwarza trójkąt w skali, a nieznany bok jest zaznaczony przerywaną linią. Kopiuj kopiuje odpowiedź, a Wyczyść opróżnia trzy pola.

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna c – zawsze najdłuższy bok. Dwa pozostałe boki, a i b, to przyprostokątne. Twierdzenie mówi, że

a² + b² = c²

Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej ma takie samo pole jak dwa kwadraty zbudowane na przyprostokątnych razem. Po przekształceniu wzoru otrzymujemy każdy bok:

• przeciwprostokątna: c = √(a² + b²)
• przyprostokątna: a = √(c² − b²) lub b = √(c² − a²)

Ponieważ przyprostokątną wyznacza się przez odejmowanie, przeciwprostokątna musi być ściśle dłuższa od znanej przyprostokątnej. Jeśli nie jest, taki trójkąt prostokątny nie istnieje i narzędzie o tym informuje.

Dokładne wyniki z pierwiastkami

Narzędzie liczy na dokładnych ułamkach, więc może podać wynik w postaci uproszczonego pierwiastka, a nie tylko zaokrąglonej liczby. Dla przyprostokątnych 5 i 5: c² = 25 + 25 = 50, a ponieważ 50 = 5² × 2, c = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Przy przyprostokątnej 1 i przeciwprostokątnej 2 druga przyprostokątna to √3, a pole wynosi √3/2. Ułamki są obsługiwane tak samo: przyprostokątne 1/2 i 1/3 dają c = √13/6.

Postać dokładna to to, czego zwykle oczekuje nauczyciel w zadaniach z geometrii, a wartość dziesiętna przydaje się przy cięciu deski czy wytyczaniu ściany. Pole i obwód również są podawane dokładnie, np. 10 + 5√2 dla obwodu trójkąta 5-5.

Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska to trzy liczby całkowite spełniające a² + b² = c². Najbardziej znane to 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 i 7-24-25. Trójka jest pierwotna, gdy liczby nie mają wspólnego dzielnika. Pomnożenie pierwotnej trójki przez dowolną liczbę całkowitą daje kolejną trójkę: 6-8-10 to 2 × (3-4-5), a 9-12-15 to 3 × (3-4-5). Gdy wszystkie trzy boki są całkowite, narzędzie podaje, czy tworzą trójkę pierwotną, czy jej wielokrotność.

Trójki przydają się na budowie: odmierzenie 3 m wzdłuż jednej ściany, 4 m wzdłuż drugiej i sprawdzenie, że przekątna ma dokładnie 5 m, potwierdza kąt prosty.

Kąty, pole i obwód

Znając trzy boki, łatwo wyznaczyć resztę. Pole to połowa iloczynu przyprostokątnych, a × b ÷ 2. Obwód to a + b + c. Kąt ostry α, leżący naprzeciw przyprostokątnej a, to arctg(a ÷ b), a drugi kąt ostry to β = 90° − α. Dla trójkąta, który nie jest prostokątny, użyj ogólnego kalkulatora trójkąta z twierdzeniem cosinusów.