Pythagoraan lauseen laskin
Pythagoraan lauseen laskin laskee suorakulmaisen kolmion hypotenuusan tai puuttuvan kateetin tarkkoina juurilausekkeina, vaiheittain ja kuvion kera.
Täytä kaksi sivua ja jätä tuntematon tyhjäksi. Kokonaisluvut, desimaaliluvut (2,5) ja murtoluvut (3/2) kelpaavat.
Puuttuva sivu
–
- Pinta-ala
- –
- Piiri
- –
- Kulma α (a:n vastainen)
- –
- Kulma β (b:n vastainen)
- –
Vaihe vaiheelta
Näin käytät Pythagoraan lauseen laskinta
- Kirjoita kaksi tuntemaasi sivua kenttiin Kateetti a, Kateetti b ja Hypotenuusa c, ja jätä etsimäsi sivu tyhjäksi. Voit kirjoittaa kokonaislukuja, desimaalilukuja kuten 2,5 tai murtolukuja kuten 3/2.
- Valitse halutessasi Yksikkö (mm, cm, m, km, in, ft, yd tai mi). Se lisätään vain vastauksiin, laskenta on sama.
- Vastaus ilmestyy kirjoittaessasi (Laske-painike tekee saman). Puuttuva sivu näyttää desimaaliarvon, ja Tarkka arvo näyttää sievennetyn juurilausekkeen, kun sivu ei ole kokonaisluku tai päättyvä desimaaliluku, esimerkiksi 5√2.
- Sen alla näet Pinta-alan, Piirin ja molemmat teräväkulmat, huomautuksen siitä, muodostavatko kolme sivua pythagoraan kolmikon, sekä koko laskun kohdassa Vaihe vaiheelta.
- Oikealla oleva kuvio piirtää kolmion uudelleen mittakaavassa, ja tuntematon sivu on katkoviivalla korostettuna. Kopioi kopioi vastauksen ja Tyhjennä tyhjentää kolme kenttää.
Pythagoraan lause
Suorakulmaisessa kolmiossa suoraa kulmaa vastapäätä oleva sivu on hypotenuusa c, aina kolmion pisin sivu. Kaksi muuta sivua, a ja b, ovat kateetit. Lauseen mukaan
a² + b² = c²
Hypotenuusalle piirretyn neliön pinta-ala on sama kuin kateeteille piirrettyjen neliöiden yhteenlaskettu pinta-ala. Kaavaa muokkaamalla saadaan kukin sivu:
- hypotenuusa: c = √(a² + b²)
- kateetti: a = √(c² − b²) tai b = √(c² − a²)
Koska kateetti saadaan vähennyslaskulla, hypotenuusan on oltava tarkasti pidempi kuin tunnettu kateetti. Jos se ei ole, suorakulmaista kolmiota ei ole olemassa, ja työkalu kertoo siitä.
Tarkat vastaukset neliöjuurina
Työkalu laskee tarkoilla murtoluvuilla, joten se voi antaa vastauksen sievennettynä juurilausekkeena pelkän pyöristetyn desimaaliluvun sijaan. Kun kateetit ovat 5 ja 5, c² = 25 + 25 = 50, ja koska 50 = 5² × 2, c = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Kun kateetti on 1 ja hypotenuusa 2, toinen kateetti on √3 ja pinta-ala √3/2. Murtoluvut käsitellään samoin: kateeteilla 1/2 ja 1/3 hypotenuusa on c = √13/6.
Tarkka muoto on se, jota opettajat yleensä odottavat geometrian kotitehtävissä, ja desimaaliluku on se, jota tarvitset laudan sahaamiseen tai seinän mittaamiseen. Myös pinta-ala ja piiri annetaan tarkkoina, esimerkiksi 10 + 5√2 kolmion 5–5 piirille.
Pythagoraan kolmikot
Pythagoraan kolmikko on kolmen kokonaisluvun joukko, joka toteuttaa yhtälön a² + b² = c². Tunnetuimmat ovat 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ja 7-24-25. Kolmikko on primitiivinen, kun luvuilla ei ole yhteistä tekijää. Kun primitiivisen kolmikon kertoo millä tahansa kokonaisluvulla, saadaan uusi kolmikko: 6-8-10 on 2 × (3-4-5) ja 9-12-15 on 3 × (3-4-5). Kun kaikki kolme sivua ovat kokonaislukuja, työkalu kertoo, muodostavatko ne primitiivisen kolmikon vai sen monikerran.
Kolmikot ovat kätevä apu rakennustyömaalla: kun mittaat yhtä seinää pitkin 3 m, toista 4 m ja tarkistat, että lävistäjä on täsmälleen 5 m, kulma on suora.
Kulmat, pinta-ala ja piiri
Kun kaikki kolme sivua tunnetaan, suorakulmaisen kolmion muut mitat seuraavat niistä. Pinta-ala on kateettien tulon puolikas, a × b ÷ 2. Piiri on a + b + c. Terävä kulma α, kateetin a vastainen kulma, on arctan(a ÷ b), ja toinen terävä kulma on β = 90° − α. Kolmiolle, joka ei ole suorakulmainen, käytä yleistä kolmion laskinta ja kosinilausetta.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä sivu on hypotenuusa?
Hypotenuusa on suoraa kulmaa vastapäätä oleva sivu ja kolmion pisin sivu. Tässä työkalussa se on aina c, ja a ja b ovat kaksi sivua, jotka kohtaavat suorassa kulmassa.
Voinko laskea hypotenuusan sijaan kateetin?
Voit. Jätä Kateetti a tai Kateetti b tyhjäksi ja täytä toinen kateetti sekä hypotenuusa. Työkalu laskee √(c² − b²) tai √(c² − a²).
Miksi saan tuloksen, kuten 5√2, enkä desimaalilukua?
5√2 on luvun √50 tarkka arvo: neliötekijä 25 on otettu juuren ulkopuolelle. Pyöristetty desimaaliluku näytetään myös, joten voit käyttää kumpaa tarvitset.
Miksi työkalu sanoo, että hypotenuusan on oltava pidempi?
Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on aina pidempi kuin kumpikaan kateetti, koska c² = a² + b² on suurempi kuin a² ja b². Jos antamasi luvut rikkovat tämän säännön, ne eivät voi kuvata suorakulmaista kolmiota.
Muuttaako yksikkö tulosta?
Ei. Yksikkö on vain pituuksiin ja pinta-alaan lisättävä merkintä (esimerkiksi cm²). Kaikkien sivujen on oltava samassa yksikössä.
Mikä on primitiivinen pythagoraan kolmikko?
Se on kolmen kokonaisluvun joukko, jolla ei ole yhteistä tekijää, kuten 3-4-5 tai 5-12-13. Jokainen muu kolmikko on jonkin primitiivisen kolmikon kokonaislukukerrannainen.
Aiheeseen liittyvät työkalut
- Kolmiolaskin Ilmainen kolmiolaskin ratkaisee minkä tahansa kolmion kolmesta arvosta (SSS, SKS, KSK, KKS tai SSK) pinta-alan, piirin, korkeudet ja kuvion kera.
- Pinta-alalaskuri Ilmainen pinta-alalaskuri 11 kuviolle: neliöstä ja ympyrästä puolisuunnikkaaseen ja monikulmioon. Mukana kaava, välivaiheet ja mitoitettu kuva.
- Potenssi- ja juurilaskin Laske potensseja negatiivisilla tai murtoeksponenteilla sekä neliö-, kuutio- ja n:nsiä juuria ja sievennä juurilausekkeita tarkasti (√72 = 6√2) vaiheineen.