Satz des Pythagoras Rechner

So nutzen Sie den Pythagoras-Rechner

1. Tragen Sie die zwei bekannten Seiten in Kathete a, Kathete b und Hypotenuse c ein und lassen Sie die gesuchte Seite leer. Möglich sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen wie 2,5 oder Brüche wie 3/2.
2. Wählen Sie bei Bedarf eine Einheit (mm, cm, m, km, in, ft, yd oder mi). Sie wird nur an die Ergebnisse angehängt; die Rechnung bleibt dieselbe.
3. Das Ergebnis erscheint beim Tippen (die Schaltfläche Berechnen bewirkt dasselbe). Gesuchte Seite zeigt den Dezimalwert, und Exakter Wert zeigt die vereinfachte Wurzelform, wenn die Seite keine ganze Zahl und kein abbrechender Dezimalbruch ist, zum Beispiel 5√2.
4. Darunter finden Sie Flächeninhalt, Umfang und die beiden spitzen Winkel, einen Hinweis, ob die drei Seiten ein pythagoreisches Tripel bilden, und den vollständigen Rechenweg unter Schritt für Schritt.
5. Die Skizze rechts zeichnet das Dreieck maßstabsgetreu neu, die gesuchte Seite gestrichelt und hervorgehoben. Kopieren kopiert das Ergebnis; Leeren leert die drei Felder.

Der Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse c; sie ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten a und b sind die Katheten. Der Satz lautet:

a² + b² = c²

Das Quadrat über der Hypotenuse hat denselben Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen. Durch Umstellen erhält man jede Seite:

• Hypotenuse: c = √(a² + b²)
• Kathete: a = √(c² − b²) bzw. b = √(c² − a²)

Weil eine Kathete durch Subtraktion bestimmt wird, muss die Hypotenuse echt länger als die bekannte Kathete sein. Ist sie es nicht, gibt es kein rechtwinkliges Dreieck, und das Tool weist Sie darauf hin.

Exakte Ergebnisse mit Wurzeln

Dieses Tool rechnet mit exakten Brüchen und kann das Ergebnis daher in vereinfachter Wurzelform angeben, nicht nur als gerundete Dezimalzahl. Bei den Katheten 5 und 5 gilt c² = 25 + 25 = 50, und da 50 = 5² × 2 ist, folgt c = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Bei einer Kathete von 1 und einer Hypotenuse von 2 ist die andere Kathete √3 und der Flächeninhalt √3/2. Brüche werden genauso behandelt: Die Katheten 1/2 und 1/3 ergeben c = √13/6.

Die exakte Form erwarten Lehrkräfte meist in Geometrie-Hausaufgaben, den Dezimalwert brauchen Sie, um ein Brett zuzuschneiden oder eine Wand anzureißen. Auch Flächeninhalt und Umfang werden exakt angegeben, beim 5-5-Dreieck etwa 10 + 5√2 für den Umfang.

Pythagoreische Tripel

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei ganzen Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen. Die bekanntesten sind 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Ein Tripel ist primitiv, wenn die drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben. Multipliziert man ein primitives Tripel mit einer ganzen Zahl, erhält man ein weiteres Tripel: 6-8-10 ist 2 × (3-4-5), und 9-12-15 ist 3 × (3-4-5). Sind alle drei Seiten ganzzahlig, meldet das Tool, ob sie ein primitives Tripel oder ein Vielfaches davon bilden.

Auf der Baustelle sind Tripel praktisch: Misst man 3 m an der einen Wand und 4 m an der anderen und ist die Diagonale genau 5 m lang, ist die Ecke rechtwinklig.

Winkel, Flächeninhalt und Umfang

Kennt man alle drei Seiten, ergibt sich der Rest des rechtwinkligen Dreiecks. Der Flächeninhalt ist das halbe Produkt der Katheten, a × b ÷ 2. Der Umfang ist a + b + c. Der spitze Winkel α gegenüber der Kathete a ist arctan(a ÷ b), der andere spitze Winkel ist β = 90° − α. Für ein nicht rechtwinkliges Dreieck verwenden Sie stattdessen einen allgemeinen Dreiecksrechner mit dem Kosinussatz.