GGD en KGV berekenen

Q: Wat is de GGD van 0 en een ander getal?

Elk getal is een deler van 0, dus GGD 0, n = n. Het KGV van een lijst met een 0 erin is 0. Zijn alle getallen 0, dan is de GGD volgens afspraak 0.

Q: Hoe vind ik het KGV van drie getallen?

Typ ze alle drie in. De tool berekent eerst KGV a, b en daarna het KGV van dat resultaat met c, en toont elke stap.

Bereken de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van twee of meer getallen, met het algoritme van Euclides, priemfactoren en uitwerking.

Gehele getallen

Voer twee of meer gehele getallen in (tot 50), gescheiden door spaties, komma's, puntkomma's of nieuwe regels. Mintekens worden genegeerd, getallen mogen tot ongeveer 6.000 cijfers hebben en eenvoudige machten zoals 2^32 zijn toegestaan (zonder spaties).

GGD (grootste gemene deler): –
KGV (kleinste gemene veelvoud): –

Algoritme van Euclides

Methode met priemfactoren

KGV uit de GGD: KGV(a, b) = a × b / GGD(a, b)

Zo bereken je de GGD en het KGV

Typ je getallen in Gehele getallen, gescheiden door spaties, komma’s, puntkomma’s of nieuwe regels: bijvoorbeeld 84 126 210.
De GGD (grootste gemene deler) en het KGV (kleinste gemene veelvoud) verschijnen terwijl je typt. Berekenen doet hetzelfde en Kopiëren kopieert beide resultaten.
Onder de resultaten tonen drie panelen de uitwerking: Algoritme van Euclides, Methode met priemfactoren en KGV uit de GGD: KGV(a, b) = a × b / GGD(a, b).

Je kunt tot 50 getallen invoeren, elk met tot ongeveer 6.000 cijfers. Tekens worden genegeerd, omdat −12 en 12 dezelfde delers en veelvouden hebben. Eenvoudige machten zoals 2^32 zijn toegestaan, zolang er geen spaties in staan. Omdat het om gehele getallen gaat, is een komma hier altijd een scheidingsteken tussen twee getallen, nooit een decimaalteken.

Wat zijn de GGD en het KGV?

De grootste gemene deler (GGD) is het grootste gehele getal waardoor elk getal uit de lijst zonder rest deelbaar is. Voor 84, 126 en 210 is dat 42.

Het kleinste gemene veelvoud (KGV) is het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van elk getal uit de lijst. Voor 84, 126 en 210 is dat 1260.

Typische toepassingen: met de GGD vereenvoudig je breuken (84/126 = 2/3 na beide door 42 te delen) en verdeel je iets in zo groot mogelijke gelijke stukken. Het KGV geeft de kleinste gemeenschappelijke noemer bij het optellen van breuken, en vertelt wanneer terugkerende cycli weer samenvallen (twee bussen die om de 12 en om de 18 minuten rijden, vertrekken elke 36 minuten tegelijk).

Is de GGD 1, dan zijn de getallen onderling ondeelbaar (relatief priem): ze hebben geen gemeenschappelijke factor, zoals 8 en 15. De tool meldt dat; anders toont hij elk getal gedeeld door de GGD.

Methode 1: het algoritme van Euclides

De methode van Euclides vervangt het grootste getal steeds door de rest van de deling, tot de rest 0 is. De laatste rest die niet nul is, is de GGD:

1071 = 2 × 462 + 147
462 = 3 × 147 + 21
147 = 7 × 21 + 0, dus GGD(1071, 462) = 21.

Het werkt snel, zelfs voor getallen met honderden cijfers; daarom is het resultaat altijd exact. Bij drie of meer getallen wordt het paarsgewijs toegepast: GGD(a, b, c) = GGD(GGD(a, b), c).

Methode 2: ontbinden in priemfactoren

Schrijf elk getal als product van priemgetallen. De GGD neemt elke priemfactor die alle getallen gemeen hebben, met de kleinste exponent; het KGV neemt elke priemfactor die voorkomt, met de grootste exponent. Met 12 = 2² × 3 en 18 = 2 × 3²: GGD = 2 × 3 = 6 en KGV = 2² × 3² = 36. Deze methode wordt getoond als elk getal snel te ontbinden is; voor heel grote getallen geeft het algoritme van Euclides nog steeds het antwoord.

Methode 3: het KGV uit de GGD

Voor twee getallen geldt GGD × KGV = a × b, dus KGV(a, b) = a × b / GGD(a, b). Voor 12 en 18: 12 × 18 / 6 = 36. Bij een langere lijst wordt de regel stap voor stap toegepast.

Veelgestelde vragen

Wat is de GGD van 0 en een ander getal?

Elk getal is een deler van 0, dus GGD(0, n) = n. Het KGV van een lijst met een 0 erin is 0. Zijn alle getallen 0, dan is de GGD volgens afspraak 0.

Is de GGD hetzelfde als de grootste gemeenschappelijke deler?

Ja. Grootste gemene deler en grootste gemeenschappelijke deler zijn twee namen voor hetzelfde getal. In het Engels heet hij GCD, GCF of HCF.

Hoe vind ik het KGV van drie getallen?

Typ ze alle drie in. De tool berekent eerst KGV(a, b) en daarna het KGV van dat resultaat met c, en toont elke stap.

Kan ik de tool gebruiken om een breuk te vereenvoudigen?

Ja: voer de teller en de noemer in. De opmerking onder de resultaten toont beide gedeeld door hun GGD, en dat is de vereenvoudigde breuk.

Werkt het met heel grote getallen?

Ja. Getallen worden verwerkt als exacte grote gehele getallen, dus waarden van 30 of 300 cijfers geven exacte resultaten.