Kalkulator NWD i NWW

Jak korzystać z kalkulatora NWD i NWW

1. Wpisz liczby w pole Liczby całkowite, oddzielając je spacjami, przecinkami, średnikami lub nowymi wierszami, np. 84 126 210.
2. NWD (największy wspólny dzielnik) i NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) pojawiają się podczas pisania. Oblicz robi to samo, a Kopiuj kopiuje oba wyniki.
3. Pod wynikami trzy panele pokazują obliczenia: Algorytm Euklidesa, Metoda rozkładu na czynniki pierwsze oraz NWW z NWD: NWW(a, b) = a × b / NWD(a, b).

Możesz wpisać do 50 liczb, każdą mającą do ok. 6000 cyfr. Nie używaj separatorów tysięcy – spacja i przecinek rozdzielają liczby. Znaki są pomijane, bo −12 i 12 mają te same dzielniki i wielokrotności. Proste potęgi, np. 2^32, są akceptowane, o ile nie zawierają spacji.

Czym są NWD i NWW

Największy wspólny dzielnik (NWD) to największa liczba całkowita, przez którą każda liczba z listy dzieli się bez reszty. Dla 84, 126 i 210 wynosi 42.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba dodatnia, która jest wielokrotnością każdej liczby z listy. Dla 84, 126 i 210 wynosi 1260.

Typowe zastosowania: NWD pozwala skracać ułamki (84/126 = 2/3 po podzieleniu obu liczb przez 42) i dzielić rzeczy na jak największe równe części; NWW daje najmniejszy wspólny mianownik przy dodawaniu ułamków i mówi, kiedy powtarzające się cykle znów się zgrają (dwa autobusy kursujące co 12 i co 18 minut spotykają się co 36 minut).

Gdy NWD wynosi 1, liczby są względnie pierwsze: nie mają wspólnego czynnika, jak 8 i 15. Narzędzie o tym informuje, a w przeciwnym razie pokazuje każdą liczbę podzieloną przez NWD.

Metoda 1: algorytm Euklidesa

Metoda Euklidesa raz po raz zastępuje większą liczbę resztą z dzielenia, aż reszta wyniesie 0. Ostatnia niezerowa reszta to NWD:

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0, więc NWD(1071, 462) = 21.

Algorytm jest szybki nawet dla liczb mających setki cyfr, dlatego wynik zawsze jest dokładny. Przy trzech i więcej liczbach stosuje się go parami: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).

Metoda 2: rozkład na czynniki pierwsze

Zapisz każdą liczbę jako iloczyn liczb pierwszych. NWD bierze każdy czynnik pierwszy wspólny dla wszystkich liczb z najmniejszym wykładnikiem; NWW bierze każdy czynnik, który się pojawia, z największym wykładnikiem. Dla 12 = 2² × 3 i 18 = 2 × 3²: NWD = 2 × 3 = 6, a NWW = 2² × 3² = 36. Ta metoda jest pokazywana, gdy wszystkie liczby da się szybko rozłożyć na czynniki; dla bardzo dużych liczb odpowiedź i tak daje algorytm Euklidesa.

Metoda 3: NWW z NWD

Dla dwóch liczb NWD × NWW = a × b, więc NWW(a, b) = a × b / NWD(a, b). Dla 12 i 18: 12 × 18 / 6 = 36. Przy dłuższej liście wzór stosuje się krok po kroku.