Calculateur de PGCD et PPCM

Comment calculer un PGCD et un PPCM

1. Saisissez vos nombres dans Nombres entiers, séparés par des espaces, des virgules, des points-virgules ou des retours à la ligne : par exemple 84 126 210.
2. Le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) s’affichent pendant la saisie. Calculer fait de même et Copier copie les deux résultats.
3. Sous les résultats, trois panneaux détaillent le calcul : Algorithme d’Euclide, Méthode de la décomposition en facteurs premiers et PPCM à partir du PGCD : PPCM(a, b) = a × b / PGCD(a, b).

Vous pouvez saisir jusqu’à 50 nombres, de 6000 chiffres chacun au maximum. Les signes sont ignorés, puisque −12 et 12 ont les mêmes diviseurs et les mêmes multiples. Les puissances simples comme 2^32 sont acceptées, à condition de ne pas contenir d’espace.

PGCD et PPCM : définitions

Le PGCD est le plus grand entier qui divise tous les nombres de la liste sans reste. Pour 84, 126 et 210, il vaut 42.

Le PPCM est le plus petit entier positif qui soit multiple de tous les nombres de la liste. Pour 84, 126 et 210, il vaut 1260.

À quoi servent-ils ? Le PGCD permet de rendre une fraction irréductible (84/126 = 2/3 en divisant par 42) ou de découper en morceaux égaux les plus grands possible. Le PPCM donne le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions, et indique quand deux phénomènes périodiques coïncident à nouveau (deux bus toutes les 12 et 18 minutes repassent ensemble toutes les 36 minutes).

Quand le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux : ils n’ont aucun facteur commun, comme 8 et 15. L’outil le signale ; sinon, il affiche chaque nombre divisé par le PGCD.

Méthode 1 : l’algorithme d’Euclide

On remplace le plus grand nombre par le reste de la division euclidienne, encore et encore, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD :

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0, donc PGCD(1071 ; 462) = 21.

La méthode est rapide même avec des nombres de plusieurs centaines de chiffres : le résultat est donc toujours exact. Avec trois nombres ou plus, on l’applique de proche en proche : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c).

Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers

On écrit chaque nombre comme produit de facteurs premiers. Le PGCD prend les facteurs communs à tous les nombres avec leur plus petit exposant ; le PPCM prend tous les facteurs présents avec leur plus grand exposant. Avec 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3² : PGCD = 2 × 3 = 6 et PPCM = 2² × 3² = 36. Cette méthode est affichée dès que tous les nombres se décomposent rapidement ; pour de très grands nombres, l’algorithme d’Euclide donne quand même le résultat.

Méthode 3 : le PPCM à partir du PGCD

Pour deux nombres, PGCD × PPCM = a × b, donc PPCM(a, b) = a × b / PGCD(a, b). Pour 12 et 18 : 12 × 18 / 6 = 36. Pour une liste plus longue, la règle s’applique étape par étape.