Calculadora de m.d.c. e m.m.c.

Q: Qual é o m.d.c. de 0 e de outro número?

Qualquer número divide 0, por isso m.d.c. 0, n = n. O m.m.c. de uma lista que contenha 0 é 0. Se todos os números forem 0, o m.d.c. é 0 por convenção.

Q: Como calculo o m.m.c. de três números?

Escreve os três. A ferramenta calcula primeiro m.m.c. a, b e depois o m.m.c. desse resultado com c, mostrando cada passo.

Calcula o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, com o algoritmo de Euclides, a decomposição em fatores primos e os passos.

Números inteiros

Introduz dois ou mais números inteiros (até 50), separados por espaços, vírgulas, ponto e vírgula ou mudanças de linha. Os sinais negativos são ignorados, cada número pode ter até cerca de 6000 algarismos e são aceites potências simples como 2^32 (sem espaços no meio).

m.d.c. (máximo divisor comum): –
m.m.c. (mínimo múltiplo comum): –

Algoritmo de Euclides

Método da decomposição em fatores primos

m.m.c. a partir do m.d.c.: m.m.c.(a, b) = a × b / m.d.c.(a, b)

Como usar a calculadora de m.d.c. e m.m.c.

Escreve os teus números em Números inteiros, separados por espaços, vírgulas, ponto e vírgula ou mudanças de linha: por exemplo 84 126 210.
O m.d.c. (máximo divisor comum) e o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) aparecem enquanto escreves. Calcular faz o mesmo e Copiar copia os dois resultados.
Por baixo dos resultados, três painéis mostram a resolução: Algoritmo de Euclides, Método da decomposição em fatores primos e m.m.c. a partir do m.d.c.: m.m.c.(a, b) = a × b / m.d.c.(a, b).

Podes introduzir até 50 números, cada um com até cerca de 6000 algarismos. Os sinais são ignorados, já que os divisores e os múltiplos de −12 e de 12 são os mesmos. São aceites potências simples como 2^32, desde que não tenham espaços no meio.

O que são o m.d.c. e o m.m.c.

O máximo divisor comum (m.d.c.) é o maior número inteiro que divide todos os números da lista sem deixar resto. Para 84, 126 e 210 é 42.

O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) é o menor número positivo que é múltiplo de todos os números da lista. Para 84, 126 e 210 é 1260.

Utilizações típicas: o m.d.c. serve para simplificar frações (84/126 = 2/3 depois de dividir ambos por 42) e para cortar algo no maior número possível de partes iguais; o m.m.c. dá o menor denominador comum quando somas frações e diz-te quando ciclos que se repetem voltam a coincidir (dois autocarros que passam a cada 12 e a cada 18 minutos encontram-se a cada 36 minutos).

Quando o m.d.c. é 1, os números são primos entre si: não têm nenhum fator em comum, como 8 e 15. A ferramenta indica-o; caso contrário, mostra cada número dividido pelo m.d.c.

Método 1: o algoritmo de Euclides

O método de Euclides substitui o número maior pelo resto da divisão, uma e outra vez, até o resto ser 0. O último resto diferente de zero é o m.d.c.:

1071 = 2 × 462 + 147
462 = 3 × 147 + 21
147 = 7 × 21 + 0, logo m.d.c.(1071, 462) = 21.

É rápido mesmo com números de centenas de algarismos, e é por isso que o resultado é sempre exato. Com três ou mais números, aplica-se par a par: m.d.c.(a, b, c) = m.d.c.(m.d.c.(a, b), c).

Método 2: decomposição em fatores primos

Escreve cada número como produto de fatores primos. O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns a todos os números, cada um com o menor expoente; o m.m.c. é o produto de todos os fatores primos que aparecem, cada um com o maior expoente. Com 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3²: m.d.c. = 2 × 3 = 6 e m.m.c. = 2² × 3² = 36. Este método aparece sempre que todos os números podem ser decompostos rapidamente; para números muito grandes, o algoritmo de Euclides continua a dar a resposta.

Método 3: m.m.c. a partir do m.d.c.

Para dois números, m.d.c. × m.m.c. = a × b, por isso m.m.c.(a, b) = a × b / m.d.c.(a, b). Para 12 e 18: 12 × 18 / 6 = 36. Numa lista mais longa, a regra aplica-se passo a passo.

Perguntas frequentes

Qual é o m.d.c. de 0 e de outro número?

Qualquer número divide 0, por isso m.d.c.(0, n) = n. O m.m.c. de uma lista que contenha 0 é 0. Se todos os números forem 0, o m.d.c. é 0 por convenção.

Como calculo o m.m.c. de três números?

Escreve os três. A ferramenta calcula primeiro m.m.c.(a, b) e depois o m.m.c. desse resultado com c, mostrando cada passo.

Posso usá-la para simplificar uma fração?

Sim: introduz o numerador e o denominador. A nota por baixo dos resultados mostra os dois divididos pelo m.d.c., o que dá a fração irredutível.

Funciona com números muito grandes?

Sim. Os números são tratados como inteiros exatos de tamanho arbitrário, por isso valores com 30 ou 300 algarismos dão resultados exatos.

Posso escrever os números separados por vírgulas?

Sim. Como aqui só se aceitam números inteiros, a vírgula serve de separador, tal como o espaço, o ponto e vírgula e a mudança de linha. Não escrevas separadores de milhares: 12 000 seria lido como dois números, 12 e 0.