ggT- und kgV-Rechner

Q: Was ist der ggT von 0 und einer anderen Zahl?

Jede Zahl teilt 0, also gilt ggT 0, n = n. Das kgV einer Liste, die 0 enthält, ist 0. Sind alle Zahlen 0, ist der ggT per Konvention 0.

Q: Wie berechne ich das kgV von drei Zahlen?

Geben Sie alle drei ein. Das Tool berechnet zuerst kgV a, b und dann das kgV dieses Ergebnisses mit c und zeigt jeden Schritt.

ggT und kgV von zwei oder mehr Zahlen berechnen: mit euklidischem Algorithmus, Primfaktorzerlegung und Rechenweg Schritt für Schritt.

Ganze Zahlen

Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen ein (bis zu 50), getrennt durch Leerzeichen, Kommas, Semikolons oder Zeilenumbrüche. Vorzeichen werden ignoriert, Zahlen dürfen bis zu etwa 6.000 Stellen haben, und einfache Potenzen wie 2^32 sind erlaubt (ohne Leerzeichen).

ggT (größter gemeinsamer Teiler): –
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): –

Euklidischer Algorithmus

Primfaktorzerlegung

kgV über den ggT: kgV(a, b) = a × b / ggT(a, b)

So verwenden Sie den ggT- und kgV-Rechner

Tippen Sie Ihre Zahlen in das Feld Ganze Zahlen, getrennt durch Leerzeichen, Kommas, Semikolons oder Zeilenumbrüche, zum Beispiel 84 126 210.
ggT (größter gemeinsamer Teiler) und kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) erscheinen schon während der Eingabe. Berechnen bewirkt dasselbe, und Kopieren kopiert beide Ergebnisse.
Unter den Ergebnissen zeigen drei Abschnitte den Rechenweg: Euklidischer Algorithmus, Primfaktorzerlegung und kgV über den ggT: kgV(a, b) = a × b / ggT(a, b).

Sie können bis zu 50 Zahlen eingeben, jede mit bis zu etwa 6.000 Stellen. Vorzeichen werden ignoriert, denn −12 und 12 haben dieselben Teiler und Vielfachen. Einfache Potenzen wie 2^32 werden akzeptiert, solange sie kein Leerzeichen enthalten. Die Berechnung läuft vollständig in Ihrem Browser.

Was ggT und kgV bedeuten

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte ganze Zahl, die jede Zahl der Liste ohne Rest teilt. Für 84, 126 und 210 ist das 42.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches jeder Zahl der Liste ist. Für 84, 126 und 210 ist das 1260.

Typische Anwendungen: Mit dem ggT kürzen Sie Brüche (84/126 = 2/3 nach dem Teilen beider Zahlen durch 42) oder teilen etwas in möglichst große gleiche Stücke. Das kgV liefert den Hauptnenner beim Addieren von Brüchen und sagt Ihnen, wann sich wiederkehrende Zyklen wieder treffen: Zwei Busse, die alle 12 und alle 18 Minuten fahren, treffen sich alle 36 Minuten.

Ist der ggT gleich 1, sind die Zahlen teilerfremd: Sie haben keinen gemeinsamen Faktor, wie 8 und 15. Das Tool weist darauf hin und zeigt andernfalls jede Zahl geteilt durch den ggT.

Methode 1: der euklidische Algorithmus

Beim Verfahren von Euklid wird die größere Zahl immer wieder durch den Rest der Division ersetzt, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT:

1071 = 2 × 462 + 147
462 = 3 × 147 + 21
147 = 7 × 21 + 0, also ggT(1071, 462) = 21.

Das Verfahren ist selbst bei Zahlen mit Hunderten von Stellen schnell, deshalb ist das Ergebnis immer exakt. Bei drei oder mehr Zahlen wird es paarweise angewendet: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).

Methode 2: Primfaktorzerlegung

Schreiben Sie jede Zahl als Produkt von Primzahlen. Der ggT nimmt jede Primzahl, die in allen Zahlen vorkommt, mit dem kleinsten Exponenten; das kgV nimmt jede vorkommende Primzahl mit dem größten Exponenten. Mit 12 = 2² × 3 und 18 = 2 × 3² ergibt sich ggT = 2 × 3 = 6 und kgV = 2² × 3² = 36. Diese Methode wird angezeigt, sobald sich alle Zahlen schnell zerlegen lassen; bei sehr großen Zahlen liefert der euklidische Algorithmus trotzdem das Ergebnis.

Methode 3: kgV über den ggT

Für zwei Zahlen gilt ggT × kgV = a × b, also kgV(a, b) = a × b / ggT(a, b). Für 12 und 18: 12 × 18 / 6 = 36. Bei einer längeren Liste wird die Regel schrittweise angewendet.

Häufige Fragen

Was ist der ggT von 0 und einer anderen Zahl?

Jede Zahl teilt 0, also gilt ggT(0, n) = n. Das kgV einer Liste, die 0 enthält, ist 0. Sind alle Zahlen 0, ist der ggT per Konvention 0.

Wie berechne ich das kgV von drei Zahlen?

Geben Sie alle drei ein. Das Tool berechnet zuerst kgV(a, b) und dann das kgV dieses Ergebnisses mit c und zeigt jeden Schritt.

Kann ich damit einen Bruch kürzen?

Ja: Geben Sie Zähler und Nenner ein. Der Hinweis unter den Ergebnissen zeigt beide geteilt durch ihren ggT, also den gekürzten Bruch.

Funktioniert der Rechner mit sehr großen Zahlen?

Ja. Die Zahlen werden als exakte Ganzzahlen beliebiger Länge verarbeitet, sodass auch 30- oder 300-stellige Werte exakte Ergebnisse liefern.

Warum darf ich 1.000 nicht mit Punkt schreiben?

Tausenderpunkte sind in ganzen Zahlen nicht vorgesehen, und das Komma dient als Trennzeichen zwischen den Zahlen. Schreiben Sie große Zahlen daher ohne Trennzeichen, also 1000 statt 1.000.