Utilia
Kategorie ▾
Jazyk: cs ▾

NSD a NSN – kalkulačka

Najdi největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel s Euklidovým algoritmem, rozkladem na prvočinitele a postupem pro NSN.

Zadej dvě nebo více celých čísel (nejvýše 50) oddělených mezerami, čárkami, středníky nebo novými řádky. Znaménka minus se ignorují, čísla mohou mít až asi 6 000 číslic a přijímají se i jednoduché mocniny, například 2^32 (bez mezer uvnitř).

NSD (největší společný dělitel)
–
NSN (nejmenší společný násobek)
–

Euklidův algoritmus

Metoda rozkladu na prvočinitele

NSN z NSD: NSN(a, b) = a × b / NSD(a, b)

Jak používat kalkulačku NSD a NSN

  1. Do pole Celá čísla napiš svá čísla oddělená mezerami, čárkami, středníky nebo novými řádky: například 84 126 210.
  2. NSD (největší společný dělitel) a NSN (nejmenší společný násobek) se objeví už při psaní. Stejný výsledek dá Vypočítat a Kopírovat zkopíruje oba výsledky.
  3. Pod výsledky ukazují postup tři části: Euklidův algoritmus, Metoda rozkladu na prvočinitele a NSN z NSD: NSN(a, b) = a × b / NSD(a, b).

Můžeš zadat až 50 čísel, každé až s asi 6 000 číslicemi. Znaménka se ignorují, protože dělitelé a násobky čísel −12 a 12 jsou stejní. Přijímají se i jednoduché mocniny, například 2^32, pokud neobsahují mezery.

Nástroj funguje ve tvém prohlížeči. Nic, co zadáš, se neodesílá na server.

Co jsou NSD a NSN

Největší společný dělitel (NSD) je největší celé číslo, které beze zbytku dělí každé číslo v řadě. Pro 84, 126 a 210 je to 42.

Nejmenší společný násobek (NSN) je nejmenší kladné číslo, které je násobkem každého čísla v řadě. Pro 84, 126 a 210 je to 1260.

Typické použití: NSD slouží ke krácení zlomků (84/126 = 2/3 po vydělení obou čísel číslem 42) a k dělení na co největší stejné díly; NSN dává nejmenšího společného jmenovatele při sčítání zlomků a říká, kdy se opakující se cykly znovu sejdou (dva autobusy jezdící každých 12 a 18 minut se potkají každých 36 minut).

Je-li NSD rovno 1, jsou čísla nesoudělná: nemají žádného společného činitele, jako 8 a 15. Nástroj to oznámí, a jinak ukáže každé číslo vydělené NSD.

Metoda 1: Euklidův algoritmus

Euklidova metoda opakovaně nahrazuje větší číslo zbytkem po dělení, dokud zbytek není 0. Poslední nenulový zbytek je NSD:

  • 1071 = 2 × 462 + 147
  • 462 = 3 × 147 + 21
  • 147 = 7 × 21 + 0, takže NSD(1071, 462) = 21.

Je rychlý i u čísel se stovkami číslic, a proto je výsledek vždy přesný. U tří a více čísel se používá postupně po dvojicích: NSD(a, b, c) = NSD(NSD(a, b), c).

Metoda 2: rozklad na prvočinitele

Každé číslo zapiš jako součin prvočísel. NSD obsahuje každé prvočíslo společné všem číslům s jeho nejmenším exponentem; NSN obsahuje každé prvočíslo, které se vyskytuje, s jeho největším exponentem. Pro 12 = 2² × 3 a 18 = 2 × 3²: NSD = 2 × 3 = 6 a NSN = 2² × 3² = 36. Tato metoda se zobrazí vždy, když lze všechna čísla rychle rozložit; u velmi velkých čísel dává odpověď i tak Euklidův algoritmus.

Metoda 3: NSN z NSD

Pro dvě čísla platí NSD × NSN = a × b, tedy NSN(a, b) = a × b / NSD(a, b). Pro 12 a 18: 12 × 18 / 6 = 36. U delší řady se pravidlo používá krok za krokem.

Časté dotazy

Jaký je NSD čísla 0 a jiného čísla?

Každé číslo dělí 0, takže NSD(0, n) = n. NSN řady obsahující 0 je 0. Pokud jsou všechna čísla 0, je NSD podle konvence 0.

Je NSD totéž co GCD, GCF nebo HCF?

Ano. V angličtině se největší společný dělitel označuje třemi názvy (greatest common divisor, greatest common factor, highest common factor), ale vždy jde o totéž číslo. Zkratka NSD je česká podoba.

Jak najdu NSN tří čísel?

Zadej všechna tři. Nástroj nejprve spočítá NSN(a, b), pak NSN tohoto výsledku s c a ukáže každý krok.

Dá se použít ke zkrácení zlomku?

Ano: zadej čitatele a jmenovatele. Poznámka pod výsledky ukazuje oba vydělené jejich NSD, což je zkrácený zlomek.

Funguje to s velmi velkými čísly?

Ano. Čísla se zpracovávají jako přesná velká celá čísla, takže 30místné i 300místné hodnoty dávají přesné výsledky.

Související nástroje