Calculadora de MCD y mcm

Cómo usar la calculadora de MCD y mcm

1. Escribe tus números en Números enteros, separados por espacios, comas, punto y coma o saltos de línea; por ejemplo, 84 126 210.
2. El MCD (máximo común divisor) y el mcm (mínimo común múltiplo) aparecen mientras escribes. Calcular hace lo mismo y Copiar copia ambos resultados.
3. Debajo de los resultados, tres paneles muestran el desarrollo: Algoritmo de Euclides, Método de descomposición en factores primos y mcm a partir del MCD: mcm(a, b) = a × b / MCD(a, b).

Puedes introducir hasta 50 números, cada uno con hasta unas 6000 cifras. Los signos se ignoran, porque −12 y 12 tienen los mismos divisores y múltiplos. También se aceptan potencias simples como 2^32, siempre que no lleven espacios.

Qué son el MCD y el mcm

El máximo común divisor (MCD) es el mayor número entero que divide a todos los números de la lista sin dejar resto. Para 84, 126 y 210 es 42.

El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número positivo que es múltiplo de todos los números de la lista. Para 84, 126 y 210 es 1260.

Usos habituales: el MCD sirve para simplificar fracciones (84/126 = 2/3 al dividir ambos entre 42) y para repartir algo en las partes iguales más grandes posibles; el mcm da el mínimo común denominador al sumar fracciones e indica cuándo vuelven a coincidir dos ciclos que se repiten (dos autobuses que pasan cada 12 y cada 18 minutos coinciden cada 36 minutos).

Cuando el MCD es 1, los números son coprimos (primos entre sí): no comparten ningún factor, como 8 y 15. La herramienta lo indica y, en caso contrario, muestra cada número dividido entre el MCD.

Método 1: el algoritmo de Euclides

El método de Euclides sustituye el número mayor por el resto de la división, una y otra vez, hasta que el resto es 0. El último resto distinto de cero es el MCD:

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0, por lo tanto MCD(1071, 462) = 21.

Es rápido incluso con números de cientos de cifras, y por eso el resultado siempre es exacto. Con tres números o más se aplica por parejas: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).

Método 2: descomposición en factores primos

Escribe cada número como producto de primos. El MCD toma los primos comunes a todos los números con su exponente menor; el mcm toma todos los primos que aparecen con su exponente mayor. Con 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3²: MCD = 2 × 3 = 6 y mcm = 2² × 3² = 36. Este método se muestra siempre que todos los números se pueden factorizar rápido; con números muy grandes, el algoritmo de Euclides sigue dando la respuesta.

Método 3: el mcm a partir del MCD

Para dos números, MCD × mcm = a × b, así que mcm(a, b) = a × b / MCD(a, b). Para 12 y 18: 12 × 18 / 6 = 36. Con una lista más larga, la regla se aplica paso a paso.