Υπολογισμός ΜΚΔ και ΕΚΠ

Q: Ποιο είναι το ΜΚΔ του 0 και ενός άλλου αριθμού;

Κάθε αριθμός διαιρεί το 0, άρα ΜΚΔ 0, n = n. Το ΕΚΠ μιας λίστας που περιέχει το 0 είναι 0. Αν όλοι οι αριθμοί είναι 0, το ΜΚΔ είναι 0 κατά σύμβαση.

Βρείτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών, με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη και ανάλυση σε πρώτους παράγοντες.

Ακέραιοι αριθμοί

Εισαγάγετε δύο ή περισσότερους ακέραιους αριθμούς (έως 50), χωρισμένους με κενά, κόμματα, ερωτηματικά ή νέες γραμμές. Τα πρόσημα αγνοούνται, οι αριθμοί μπορούν να έχουν έως περίπου 6.000 ψηφία και γίνονται δεκτές απλές δυνάμεις όπως 2^32 (χωρίς κενά μέσα τους).

ΜΚΔ (μέγιστος κοινός διαιρέτης): –
ΕΚΠ (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο): –

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Μέθοδος ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες

ΕΚΠ από το ΜΚΔ: ΕΚΠ(a, b) = a × b / ΜΚΔ(a, b)

Πώς να χρησιμοποιήσετε τον υπολογισμό ΜΚΔ και ΕΚΠ

Πληκτρολογήστε τους αριθμούς σας στο πεδίο Ακέραιοι αριθμοί, χωρισμένους με κενά, κόμματα, ερωτηματικά ή νέες γραμμές: για παράδειγμα 84 126 210.
Το ΜΚΔ (μέγιστος κοινός διαιρέτης) και το ΕΚΠ (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) εμφανίζονται καθώς πληκτρολογείτε. Το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο και η Αντιγραφή αντιγράφει και τα δύο αποτελέσματα.
Κάτω από τα αποτελέσματα, τρία πλαίσια δείχνουν τη λύση: Αλγόριθμος του Ευκλείδη, Μέθοδος ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες και ΕΚΠ από το ΜΚΔ: ΕΚΠ(a, b) = a × b / ΜΚΔ(a, b).

Μπορείτε να εισαγάγετε έως 50 αριθμούς, καθένας με έως περίπου 6.000 ψηφία. Τα πρόσημα αγνοούνται, αφού οι διαιρέτες και τα πολλαπλάσια είναι ίδια για το −12 και το 12. Γίνονται δεκτές απλές δυνάμεις όπως 2^32, αρκεί να μην περιέχουν κενά.

Τι είναι το ΜΚΔ και το ΕΚΠ

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που διαιρεί κάθε αριθμό της λίστας χωρίς υπόλοιπο. Για τους 84, 126 και 210 είναι το 42.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο κάθε αριθμού της λίστας. Για τους 84, 126 και 210 είναι το 1260.

Τυπικές χρήσεις: το ΜΚΔ απλοποιεί κλάσματα (84/126 = 2/3 αφού διαιρέσουμε και τους δύο όρους με 42) και χωρίζει κάτι στα μεγαλύτερα ίσα κομμάτια· το ΕΚΠ δίνει τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή στην πρόσθεση κλασμάτων και δείχνει πότε επαναλαμβανόμενοι κύκλοι συμπίπτουν ξανά (δύο λεωφορεία που περνούν κάθε 12 και 18 λεπτά συναντιούνται κάθε 36 λεπτά).

Όταν το ΜΚΔ είναι 1, οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους: δεν έχουν κοινό παράγοντα, όπως οι 8 και 15. Το εργαλείο το αναφέρει, ενώ διαφορετικά δείχνει κάθε αριθμό διαιρεμένο με το ΜΚΔ.

Μέθοδος 1: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

Η μέθοδος του Ευκλείδη αντικαθιστά τον μεγαλύτερο αριθμό με το υπόλοιπο της διαίρεσης, ξανά και ξανά, μέχρι το υπόλοιπο να γίνει 0. Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το ΜΚΔ:

1071 = 2 × 462 + 147
462 = 3 × 147 + 21
147 = 7 × 21 + 0, άρα ΜΚΔ(1071, 462) = 21.

Είναι γρήγορος ακόμη και για αριθμούς με εκατοντάδες ψηφία, γι’ αυτό το αποτέλεσμα είναι πάντα ακριβές. Με τρεις ή περισσότερους αριθμούς εφαρμόζεται ανά ζεύγη: ΜΚΔ(a, b, c) = ΜΚΔ(ΜΚΔ(a, b), c).

Μέθοδος 2: ανάλυση σε πρώτους παράγοντες

Γράψτε κάθε αριθμό ως γινόμενο πρώτων. Το ΜΚΔ παίρνει κάθε πρώτο που είναι κοινός σε όλους τους αριθμούς με τον μικρότερο εκθέτη του· το ΕΚΠ παίρνει κάθε πρώτο που εμφανίζεται με τον μεγαλύτερο εκθέτη του. Με 12 = 2² × 3 και 18 = 2 × 3²: ΜΚΔ = 2 × 3 = 6 και ΕΚΠ = 2² × 3² = 36. Η μέθοδος αυτή εμφανίζεται όποτε όλοι οι αριθμοί αναλύονται γρήγορα σε παράγοντες· για πολύ μεγάλους αριθμούς η απάντηση δίνεται και πάλι από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

Μέθοδος 3: ΕΚΠ από το ΜΚΔ

Για δύο αριθμούς, ΜΚΔ × ΕΚΠ = a × b, άρα ΕΚΠ(a, b) = a × b / ΜΚΔ(a, b). Για τους 12 και 18: 12 × 18 / 6 = 36. Για μεγαλύτερη λίστα, ο κανόνας εφαρμόζεται βήμα βήμα.

Συχνές ερωτήσεις

Ποιο είναι το ΜΚΔ του 0 και ενός άλλου αριθμού;

Κάθε αριθμός διαιρεί το 0, άρα ΜΚΔ(0, n) = n. Το ΕΚΠ μιας λίστας που περιέχει το 0 είναι 0. Αν όλοι οι αριθμοί είναι 0, το ΜΚΔ είναι 0 κατά σύμβαση.

Πώς βρίσκω το ΕΚΠ τριών αριθμών;

Πληκτρολογήστε και τους τρεις. Το εργαλείο υπολογίζει πρώτα το ΕΚΠ(a, b) και μετά το ΕΚΠ αυτού του αποτελέσματος με το c, και δείχνει κάθε βήμα.

Μπορώ να το χρησιμοποιήσω για να απλοποιήσω ένα κλάσμα;

Ναι: εισαγάγετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Η σημείωση κάτω από τα αποτελέσματα δείχνει και τους δύο διαιρεμένους με το ΜΚΔ τους, που είναι το απλοποιημένο κλάσμα.

Δουλεύει με πολύ μεγάλους αριθμούς;

Ναι. Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται ως ακριβείς μεγάλοι ακέραιοι, οπότε τιμές με 30 ή 300 ψηφία δίνουν ακριβή αποτελέσματα.

Τι σημαίνει ότι δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους;

Σημαίνει ότι το ΜΚΔ τους είναι 1, δηλαδή δεν έχουν κανέναν κοινό διαιρέτη εκτός από το 1. Δεν χρειάζεται να είναι οι ίδιοι πρώτοι: οι 8 και 15 δεν είναι πρώτοι, αλλά είναι πρώτοι μεταξύ τους.