Calculadora de MCD i MCM

Q: Quin és el MCD de 0 i un altre nombre?

Tots els nombres divideixen 0, de manera que MCD 0, n = n. El MCM d'una llista que conté 0 és 0. Si tots els nombres són 0, el MCD és 0 per conveni.

Q: Com trobo el MCM de tres nombres?

Escriu los tots tres. L'eina calcula primer el MCM a, b , després el MCM d'aquest resultat amb c, i mostra cada pas.

Troba el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos o més nombres, amb l'algorisme d'Euclides, la descomposició en factors primers i els passos del MCM.

Nombres enters

Introdueix dos o més nombres enters (fins a 50), separats per espais, comes, punts i coma o salts de línia. Els signes negatius s'ignoren, els nombres poden tenir fins a unes 6000 xifres i s'accepten potències simples com 2^32 (sense espais a dins).

MCD (màxim comú divisor): –
MCM (mínim comú múltiple): –

Algorisme d'Euclides

Mètode de la descomposició en factors primers

MCM a partir del MCD: MCM(a, b) = a × b / MCD(a, b)

Com fer servir la calculadora de MCD i MCM

Escriu els teus nombres a Nombres enters, separats per espais, comes, punts i coma o salts de línia: per exemple 84 126 210.
El MCD (màxim comú divisor) i el MCM (mínim comú múltiple) apareixen mentre escrius. Calcula fa el mateix, i Copia copia tots dos resultats.
Sota els resultats, tres tauletes mostren el desenvolupament: Algorisme d’Euclides, Mètode de la descomposició en factors primers i MCM a partir del MCD: MCM(a, b) = a × b / MCD(a, b).

Pots introduir fins a 50 nombres, cadascun amb fins a unes 6000 xifres. Els signes s’ignoren, ja que els divisors i els múltiples són els mateixos per a −12 i per a 12. S’accepten potències simples com 2^32 sempre que no continguin espais.

Què són el MCD i el MCM

El màxim comú divisor (MCD) és el nombre enter més gran que divideix tots els nombres de la llista sense deixar residu. Per a 84, 126 i 210 és 42.

El mínim comú múltiple (MCM) és el nombre positiu més petit que és múltiple de tots els nombres de la llista. Per a 84, 126 i 210 és 1260.

Usos típics: el MCD serveix per simplificar fraccions (84/126 = 2/3 després de dividir els dos termes per 42) i per tallar coses en les peces iguals més grans possibles; el MCM dona el mínim comú denominador en sumar fraccions, i indica quan tornen a coincidir els cicles que es repeteixen (dos autobusos que passen cada 12 i cada 18 minuts coincideixen cada 36 minuts).

Quan el MCD és 1, els nombres són primers entre si: no comparteixen cap factor, com 8 i 15. L’eina ho indica, i en cas contrari mostra cada nombre dividit pel MCD.

Mètode 1: l’algorisme d’Euclides

El mètode d’Euclides substitueix el nombre més gran pel residu de la divisió, una vegada i una altra, fins que el residu és 0. L’últim residu diferent de zero és el MCD:

1071 = 2 × 462 + 147
462 = 3 × 147 + 21
147 = 7 × 21 + 0, de manera que MCD(1071, 462) = 21.

És ràpid fins i tot per a nombres de centenars de xifres, i per això el resultat sempre és exacte. Amb tres o més nombres, s’aplica parell a parell: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).

Mètode 2: descomposició en factors primers

Escriu cada nombre com a producte de primers. El MCD pren cada primer comú a tots els nombres amb el seu exponent més petit; el MCM pren cada primer que apareix amb el seu exponent més gran. Amb 12 = 2² × 3 i 18 = 2 × 3²: MCD = 2 × 3 = 6 i MCM = 2² × 3² = 36. Aquest mètode es mostra sempre que tots els nombres es poden descompondre ràpidament; per a nombres molt grans, l’algorisme d’Euclides continua donant la resposta.

Mètode 3: el MCM a partir del MCD

Per a dos nombres, MCD × MCM = a × b, de manera que MCM(a, b) = a × b / MCD(a, b). Per a 12 i 18: 12 × 18 / 6 = 36. Per a una llista més llarga, la regla s’aplica pas a pas.

Preguntes freqüents

Quin és el MCD de 0 i un altre nombre?

Tots els nombres divideixen 0, de manera que MCD(0, n) = n. El MCM d’una llista que conté 0 és 0. Si tots els nombres són 0, el MCD és 0 per conveni.

Quina diferència hi ha entre MCD i «factor comú més gran»?

Cap: màxim comú divisor i factor comú més gran són dos noms del mateix nombre. En català se sol abreujar MCD (o m.c.d.), i el mínim comú múltiple, MCM (o m.c.m.).

Com trobo el MCM de tres nombres?

Escriu-los tots tres. L’eina calcula primer el MCM(a, b), després el MCM d’aquest resultat amb c, i mostra cada pas.

Puc fer-la servir per simplificar una fracció?

Sí: introdueix el numerador i el denominador. La nota sota els resultats mostra els dos dividits pel seu MCD, que és la fracció simplificada.

Funciona amb nombres molt grans?

Sí. Els nombres es tracten com a enters grans exactes, de manera que els valors de 30 o de 300 xifres donen resultats exactes.