Convertisseur fraction en décimal

Comment utiliser le convertisseur

L’outil fonctionne dans les deux sens.

Fraction → nombre décimal

1. Saisissez une Fraction comme 5/12, un nombre fractionnaire comme 1 3/4, ou un entier.
2. Lisez l’Écriture exacte (période entre parenthèses) : 5/12 = 0,41(6), c’est-à-dire 0,41666… avec le 6 qui se répète à l’infini.
3. À côté s’affichent la valeur Arrondi à 15 décimales et la Longueur de la période, soit le nombre de chiffres du bloc qui se répète.
4. Les étapes détaillent la division posée, chiffre par chiffre, et expliquent pourquoi le développement s’arrête ou se répète.

Nombre décimal → fraction

1. Saisissez un Nombre décimal. Pour un décimal périodique, placez la période entre parenthèses : 0,(3) pour 0,333…, 0,1(6) pour 0,1666…, 2,(142857) pour 2,142857142857…
2. Les boutons ( et ) insèrent les parenthèses si votre clavier les rend peu accessibles.
3. Lisez la Fraction irréductible et le raisonnement algébrique qui y mène.

La virgule comme le point sont acceptés : 0,1(6) et 0.1(6) désignent le même nombre.

Pourquoi certaines fractions ont une écriture décimale illimitée

Une fraction irréductible a un développement décimal fini seulement si son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5, les facteurs premiers de 10. Ainsi 3/8 = 0,375 (8 = 2³) et 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5) s’arrêtent, tandis que 1/3, 1/6 ou 1/7 se prolongent indéfiniment. L’outil décompose le dénominateur en facteurs premiers et vous indique le cas qui s’applique.

Quand on pose la division, chaque étape laisse un reste inférieur au diviseur. Le nombre de restes possibles étant limité, l’un d’eux finit par réapparaître, et à partir de là les chiffres se répètent. Pour 1/7, les restes parcourent 1, 3, 2, 6, 4, 5, et l’on obtient 0,(142857), une période de 6 chiffres. La période de 1/d compte au plus d − 1 chiffres.

Transformer un décimal périodique en fraction

La méthode classique consiste à multiplier le nombre par des puissances de 10 pour aligner les parties périodiques, puis à soustraire. Pour x = 0,1(6) :

1. x = 0,1(6)
2. 10x = 1,(6)
3. 100x = 16,(6)
4. 100x − 10x = 16 − 1, donc 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

L’outil applique exactement ces étapes, quelle que soit la longueur de la période, puis simplifie le résultat. Pour un décimal fini, c’est plus direct : 0,75 = 75/100 = 3/4, après division par le PGCD 25.

Précision et limites

Tous les calculs se font avec des entiers de taille illimitée : les résultats sont exacts, pas approchés. La division posée est détaillée sur les douze premières étapes, puis résumée. Si la période dépasse 5 000 chiffres, ce qui n’arrive qu’avec de très grands dénominateurs, le développement est tronqué et se termine par « … ».