Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jak korzystać z zamiany ułamków

Narzędzie działa w obu kierunkach.

Ułamek zwykły → dziesiętny

1. Wpisz Ułamek zwykły, np. 5/12, liczbę mieszaną, np. 1 3/4, albo liczbę całkowitą.
2. Odczytaj Dokładne rozwinięcie (okres w nawiasie): 5/12 = 0,41(6), czyli 0,41666…, gdzie szóstka powtarza się w nieskończoność.
3. Obok znajdziesz wartość Zaokrąglenie do 15 miejsc po przecinku oraz Długość okresu, czyli liczbę cyfr w powtarzającym się bloku.
4. Kroki pokazują dzielenie pisemne, cyfra po cyfrze, i wyjaśniają, dlaczego rozwinięcie się kończy albo jest okresowe.

Ułamek dziesiętny → zwykły

1. Wpisz Ułamek dziesiętny. W przypadku ułamka okresowego cyfry okresu umieść w nawiasie: 0,(3) dla 0,333…, 0,1(6) dla 0,1666…, 2,(142857) dla 2,142857142857…
2. Przyciski ( i ) wstawiają nawiasy, jeśli na twojej klawiaturze trudno do nich sięgnąć.
3. Odczytaj nieskracalny Ułamek zwykły i przekształcenia algebraiczne, które do niego doprowadziły.

Przecinek i kropka działają tak samo: 0,1(6) i 0.1(6) to ta sama liczba. Zapis okresu w nawiasie to dokładnie ta notacja, której uczy się w polskich szkołach.

Dlaczego niektóre ułamki są okresowe

Ułamek nieskracalny ma skończone rozwinięcie dziesiętne tylko wtedy, gdy jego mianownik nie ma czynników pierwszych innych niż 2 i 5, czyli dzielników pierwszych liczby 10. Dlatego 3/8 = 0,375 (8 = 2³) i 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5) się kończą, a 1/3, 1/6 czy 1/7 powtarzają się w nieskończoność. Narzędzie rozkłada mianownik na czynniki i mówi, który przypadek zachodzi.

Przy dzieleniu pisemnym każdy krok zostawia resztę mniejszą od mianownika. Możliwych reszt jest skończenie wiele, więc prędzej czy później któraś się powtórzy – i od tej chwili powtarzają się też cyfry. Dla 1/7 reszty przechodzą cyklicznie przez 1, 3, 2, 6, 4, 5, a rozwinięcie wynosi 0,(142857), z okresem długości 6. Okres ułamka 1/d ma co najwyżej d − 1 cyfr.

Zamiana ułamka okresowego na zwykły

Klasyczna metoda polega na mnożeniu liczby przez potęgi dziesiątki tak, aby części okresowe się pokryły, a następnie na odejmowaniu. Dla x = 0,1(6):

1. x = 0,1(6)
2. 10x = 1,(6)
3. 100x = 16,(6)
4. 100x − 10x = 16 − 1, więc 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

Narzędzie wykonuje dokładnie te kroki, niezależnie od długości okresu, i skraca wynik. Dla ułamka o skończonym rozwinięciu metoda jest prostsza: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Dokładność i ograniczenia

Wszystkie obliczenia używają liczb całkowitych o nieograniczonej wielkości, więc wyniki są dokładne, a nie przybliżone. Dzielenie pisemne pokazuje pierwsze dwanaście kroków szczegółowo, a resztę podsumowuje. Jeśli okres jest dłuższy niż 5000 cyfr (co zdarza się tylko przy bardzo dużych mianownikach), rozwinięcie jest ucinane i oznaczane „…”.