Bruch in Dezimalzahl umrechnen

So nutzen Sie den Umrechner

Das Tool rechnet in beide Richtungen.

Bruch → Dezimalzahl

1. Geben Sie einen Bruch wie 5/12, eine gemischte Zahl wie 1 3/4 oder eine ganze Zahl ein.
2. Lesen Sie die Exakte Dezimalzahl (Periode in Klammern) ab: 5/12 = 0,41(6), also 0,41666… – die 6 wiederholt sich endlos (in der Schule oft als 0,41 mit Periodenstrich über der 6 geschrieben).
3. Daneben stehen der Wert Auf 15 Nachkommastellen gerundet und die Periodenlänge, also die Anzahl der Ziffern im sich wiederholenden Block.
4. Der Rechenweg zeigt die schriftliche Division Ziffer für Ziffer und erklärt, warum die Dezimalzahl abbricht oder periodisch ist.

Dezimalzahl → Bruch

1. Geben Sie eine Dezimalzahl ein. Bei einer periodischen Dezimalzahl setzen Sie die Periode in Klammern: 0,(3) für 0,333…, 0,1(6) für 0,1666…, 2,(142857) für 2,142857142857…
2. Die Schaltflächen ( und ) fügen Klammern ein, falls sie auf Ihrer Tastatur schwer zu erreichen sind.
3. Lesen Sie den vollständig gekürzten Bruch und die Rechnung ab, die dazu geführt hat.

Dezimalkomma und Dezimalpunkt funktionieren gleichermaßen: 0,1(6) und 0.1(6) sind dieselbe Zahl.

Warum manche Brüche periodisch sind

Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt nur dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn sein Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat – die Primfaktoren von 10. Deshalb brechen 3/8 = 0,375 (8 = 2³) und 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5) ab, während 1/3, 1/6 oder 1/7 unendlich periodisch sind. Das Tool zerlegt den Nenner in Primfaktoren und sagt Ihnen, welcher Fall vorliegt.

Bei der schriftlichen Division bleibt in jedem Schritt ein Rest, der kleiner als der Nenner ist. Es gibt nur endlich viele mögliche Reste, also taucht früher oder später einer wieder auf, und ab diesem Moment wiederholen sich die Ziffern. Bei 1/7 durchlaufen die Reste 1, 3, 2, 6, 4, 5, und die Dezimalzahl ist 0,(142857) mit einer Periode von 6 Ziffern. Die Periode von 1/d ist höchstens d − 1 Ziffern lang.

Eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln

Das klassische Verfahren multipliziert die Zahl mit Zehnerpotenzen, sodass die Perioden übereinanderstehen, und subtrahiert dann. Für x = 0,1(6):

1. x = 0,1(6)
2. 10x = 1,(6)
3. 100x = 16,(6)
4. 100x − 10x = 16 − 1, also 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

Das Tool führt genau diese Schritte aus, unabhängig von der Länge der Periode, und kürzt das Ergebnis. Bei einer abbrechenden Dezimalzahl ist es einfacher: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Genauigkeit und Grenzen

Alle Berechnungen verwenden ganze Zahlen unbegrenzter Größe, die Ergebnisse sind also exakt und keine Näherungen. Die schriftliche Division zeigt die ersten zwölf Schritte im Detail und fasst den Rest zusammen. Ist eine Periode länger als 5.000 Ziffern (das kommt nur bei sehr großen Nennern vor), wird die Entwicklung abgeschnitten und mit „…“ gekennzeichnet.