Μετατροπέας κλάσματος σε δεκαδικό

Πώς να χρησιμοποιήσετε τον μετατροπέα κλάσματος σε δεκαδικό

Το εργαλείο λειτουργεί και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Κλάσμα → δεκαδικός

1. Πληκτρολογήστε ένα Κλάσμα όπως 5/12, έναν μεικτό αριθμό όπως 1 3/4 ή έναν ακέραιο.
2. Διαβάστε τον Ακριβή δεκαδικό (η περίοδος σε παρένθεση): 5/12 = 0,41(6), που σημαίνει 0,41666… με το 6 να επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον.
3. Δίπλα του παίρνετε την τιμή με Στρογγυλοποίηση σε 15 δεκαδικά ψηφία και το Μήκος περιόδου, δηλαδή το πλήθος των ψηφίων του επαναλαμβανόμενου τμήματος.
4. Τα βήματα δείχνουν τη διαίρεση, ένα ψηφίο τη φορά, και εξηγούν γιατί ο δεκαδικός σταματά ή επαναλαμβάνεται.

Δεκαδικός → κλάσμα

1. Πληκτρολογήστε έναν Δεκαδικό αριθμό. Για περιοδικό δεκαδικό, βάλτε τα ψηφία της περιόδου σε παρένθεση: 0,(3) για 0,333…, 0,1(6) για 0,1666…, 2,(142857) για 2,142857142857…
2. Τα κουμπιά ( και ) εισάγουν παρενθέσεις αν το πληκτρολόγιό σας τις κάνει δύσκολες στην πληκτρολόγηση.
3. Διαβάστε το Κλάσμα στην απλούστερη μορφή και την άλγεβρα που το παρήγαγε.

Το δεκαδικό κόμμα δουλεύει όπως και η δεκαδική τελεία: το 0,1(6) και το 0.1(6) είναι ο ίδιος αριθμός.

Γιατί ορισμένα κλάσματα επαναλαμβάνονται

Ένα ανάγωγο κλάσμα έχει πεπερασμένο δεκαδικό μόνο όταν ο παρονομαστής του δεν έχει άλλους πρώτους παράγοντες εκτός από τους 2 και 5, τους πρώτους παράγοντες του 10. Έτσι το 3/8 = 0,375 (8 = 2³) και το 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5) σταματούν, ενώ τα 1/3, 1/6 ή 1/7 επαναλαμβάνονται επ’ άπειρον. Το εργαλείο αναλύει τον παρονομαστή σε παράγοντες και σας λέει ποια περίπτωση ισχύει.

Όταν διαιρείτε με το χέρι, κάθε βήμα αφήνει ένα υπόλοιπο μικρότερο από τον παρονομαστή. Τα δυνατά υπόλοιπα είναι πεπερασμένα, άρα αργά ή γρήγορα ένα από αυτά επανέρχεται, και από εκείνη τη στιγμή τα ψηφία επαναλαμβάνονται. Στο 1/7 τα υπόλοιπα κυκλώνουν μέσα από τους 1, 3, 2, 6, 4, 5 και ο δεκαδικός είναι 0,(142857), με περίοδο 6 ψηφίων. Η περίοδος του 1/d έχει μήκος το πολύ d − 1 ψηφία.

Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού σε κλάσμα

Η κλασική μέθοδος πολλαπλασιάζει τον αριθμό με δυνάμεις του δέκα ώστε τα επαναλαμβανόμενα τμήματα να ευθυγραμμιστούν, και μετά αφαιρεί. Για x = 0,1(6):

1. x = 0,1(6)
2. 10x = 1,(6)
3. 100x = 16,(6)
4. 100x − 10x = 16 − 1, άρα 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

Το εργαλείο εκτελεί ακριβώς αυτά τα βήματα, όσο μακρύ κι αν είναι το επαναλαμβανόμενο τμήμα, και απλοποιεί το αποτέλεσμα. Για πεπερασμένο δεκαδικό η μέθοδος είναι απλούστερη: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Ακρίβεια και όρια

Όλοι οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν ακέραιους απεριόριστου μεγέθους, άρα τα αποτελέσματα είναι ακριβή και όχι προσεγγίσεις. Η διαίρεση δείχνει αναλυτικά τα πρώτα δώδεκα βήματα και συνοψίζει τα υπόλοιπα. Αν μια περίοδος είναι μεγαλύτερη από 5.000 ψηφία (κάτι που συμβαίνει μόνο με πολύ μεγάλους παρονομαστές), το ανάπτυγμα κόβεται και σημειώνεται με «…».