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Kombinatorik-Rechner: Permutation und Kombination

Variationen (nPr), Kombinationen (n über k), Fakultäten, Wiederholungen und Anagramme exakt berechnen – mit Rechenweg und Liste aller Fälle.

Ganze Zahlen von 0 bis 10.000.

Ergebnis

–

Schritt für Schritt

Fälle auflisten

Trennen Sie die Elemente durch Kommas oder Leerzeichen: n ist ihre Anzahl, r kommt aus dem Feld oben. Höchstens 50 Elemente und r ≤ 20; die ersten 500 Fälle werden aufgelistet.

    So nutzen Sie den Kombinatorik-Rechner

    1. Wählen Sie unter Was soll gezählt werden? die Art der Abzählung: Variationen nPr (Reihenfolge wichtig), Kombinationen nCr (Reihenfolge egal), Variationen mit Wiederholung (n^r), Kombinationen mit Wiederholung, Fakultät n!, Permutationen mit gleichen Elementen oder Pascalsches Dreieck.
    2. Geben Sie die Anzahl der Elemente (n) ein und, falls verlangt, einen Wert bei Ausgewählte Elemente (r). Für Permutationen mit gleichen Elementen tippen Sie in Wort oder Gruppengrößen ein Wort wie MISSISSIPPI oder die Größen der Gruppen gleicher Elemente (3 2 1).
    3. Das Ergebnis erscheint schon beim Tippen; Berechnen bewirkt dasselbe, Leeren leert die Felder und Kopieren kopiert das Ergebnis samt Schreibweise, zum Beispiel C(10, 3) = 120.
    4. Schritt für Schritt zeigt die Formel, die Formel mit Ihren Zahlen, das gekürzte Produkt und den Endwert.
    5. Öffnen Sie Fälle auflisten, geben Sie Ihre Elemente ein (zum Beispiel a, b, c, d) und klicken Sie auf Auflisten, um die konkreten Anordnungen oder Gruppen zu sehen. Die ersten 500 Fälle werden angezeigt.

    Jedes Ergebnis ist eine exakte ganze Zahl, berechnet mit Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit. n und r dürfen bis 10.000 gehen: 10.000! hat 35.660 Stellen und wird vollständig ausgeschrieben, zusammen mit einer Näherung in wissenschaftlicher Schreibweise und der Stellenanzahl.

    Welche Formel ist die richtige?

    Zwei Fragen entscheiden: Spielt die Reihenfolge eine Rolle, und darf ein Element mehrfach vorkommen?

    Situation Reihenfolge wichtig Formel Beispiel
    ohne Wiederholung ja P(n, r) = n! / (n − r)! Siegertreppchen für 3 von 10 Läufern: 720
    ohne Wiederholung nein C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 aus 49: 13.983.816
    mit Wiederholung ja n^r 4-stellige PIN: 10⁴ = 10.000
    mit Wiederholung nein C(n + r − 1, r) 3 Kugeln aus 5 Eissorten: 35
    alle Elemente, alle verschieden ja n! 5 Bücher anordnen: 120
    alle Elemente, teils gleich ja n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) Anagramme von MISSISSIPPI: 34.650

    Eine Variation (im Englischen „permutation“, daher nPr) ist eine geordnete Auswahl: ABC und CAB sind verschieden. Eine Kombination ist eine Menge: {A, B, C} ist dieselbe Gruppe, egal in welcher Reihenfolge. Deshalb gilt C(n, r) = P(n, r) / r!, denn jede Gruppe von r Elementen lässt sich auf r! Arten anordnen. C(n, r) ist der Binomialkoeffizient, gelesen „n über k“ (hier „n über r“).

    Das Pascalsche Dreieck

    Jede Zahl im Pascalschen Dreieck ist die Summe der beiden Zahlen darüber: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Zeile n enthält C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), also die Koeffizienten von (a + b)ⁿ, und ihre Summe ist 2ⁿ – die Anzahl der Teilmengen einer Menge mit n Elementen. Der Rechner zeichnet das ganze Dreieck bis Zeile 20 und zeigt einzelne Zeilen bis Zeile 200.

    Tipps

    • Der Rechner nutzt die Symmetrie C(n, r) = C(n, n − r), um die Multiplikation kurz zu halten: C(100, 97) wird als C(100, 3) berechnet.
    • 0! = 1 per Definition, daher gilt C(n, 0) = C(n, n) = 1 und P(n, 0) = 1.
    • Mit Wiederholung darf r größer als n sein (ein 6-stelliger Code aus 2 Zeichen); ohne Wiederholung darf r nicht größer als n sein.

    Häufige Fragen

    Was ist der Unterschied zwischen nPr und nCr?

    nPr zählt geordnete Anordnungen, nCr ungeordnete Gruppen. Aus 10 Personen einen Vorsitz, eine Schriftführung und eine Kassenwartung zu wählen ergibt P(10, 3) = 720 Möglichkeiten; einen 3er-Ausschuss zu wählen ergibt C(10, 3) = 120, sechsmal weniger, weil sich jeder Ausschuss auf 3! = 6 Arten anordnen lässt.

    Wie zähle ich die Anagramme eines Wortes?

    Wählen Sie Permutationen mit gleichen Elementen und geben Sie das Wort ein. Die Buchstaben werden ohne Rücksicht auf Groß- und Kleinschreibung gezählt; das Ergebnis ist n! geteilt durch die Fakultät der Häufigkeit jedes Buchstabens. LETTER ergibt 6! / (2! × 2!) = 180.

    Warum ist die Liste begrenzt?

    Die Zahl der Fälle wächst extrem schnell: Schon 10 Elemente lassen sich auf 3.628.800 Arten anordnen. Die Liste zeigt höchstens 500 Fälle, aus bis zu 50 Elementen mit r bis 20, und nennt die Gesamtzahl.

    Wie groß dürfen die Zahlen sein?

    n und r gehen bis 10.000. Das Ergebnis ist immer exakt; ab 15 Stellen werden zusätzlich eine Näherung wie 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (für 100!) und die Stellenanzahl angezeigt.

    Wie berechne ich die Gewinnchance im Lotto?

    Mit Kombinationen: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es C(49, 6) = 13.983.816 mögliche Tipps, ein einzelner Tipp hat also eine Chance von 1 zu 13.983.816 auf sechs Richtige (ohne Superzahl).

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