Utilia
Категорії ▾
Мова: uk ▾

Калькулятор перестановок і комбінацій

Точно обчислюйте перестановки (nPr), комбінації (nCr), факторіали, вибір із повтореннями та кількість анаграм – з формулами покроково та переліком випадків.

Цілі числа від 0 до 10 000.

Результат

–

Покроково

Перелік випадків

Розділіть елементи комами або пробілами: n – це їхня кількість, а r береться з поля вище. Щонайбільше 50 елементів і r ≤ 20; показано перші 500 випадків.

    Як користуватися калькулятором перестановок і комбінацій

    1. У полі Що підрахувати виберіть вид підрахунку: Перестановки nPr (порядок важливий), Комбінації nCr (порядок неважливий), Перестановки з повтореннями (n^r), Комбінації з повтореннями, Факторіал n!, Перестановки мультимножини (елементи, що повторюються) або Трикутник Паскаля.
    2. Введіть Загальна кількість елементів (n) і, якщо потрібно, Кількість вибраних елементів (r). Для мультимножини введіть слово, наприклад МАМА, або розміри груп однакових елементів (3 2 1) у полі Слово або розміри груп.
    3. Результат з’являється під час введення; кнопка Обчислити робить те саме, Очистити спорожнює поля, а Копіювати копіює результат із позначенням, наприклад C(10, 3) = 120.
    4. Розділ Покроково показує формулу, формулу з вашими числами, спрощений добуток і кінцеве значення.
    5. Відкрийте Перелік випадків, введіть Елементи (наприклад, a, b, c, d) і натисніть Показати, щоб побачити самі розташування або групи. Показано перші 500 випадків.

    Кожен результат – точне ціле число, обчислене цілими числами довільної точності. n і r можуть сягати 10 000: у 10 000! є 35 660 цифр, і число записується повністю разом із наближеним значенням у науковому записі та кількістю цифр.

    Яку формулу вибрати

    Усе вирішують два запитання: чи важливий порядок і чи можна використовувати елемент більше одного разу.

    Ситуація Порядок важливий Формула Приклад
    Без повторень так P(n, r) = n! / (n − r)! подіум із 3 місць для 10 бігунів: 720
    Без повторень ні C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 чисел із 49: 13 983 816
    Повторення дозволені так n^r 4-значний PIN-код: 10⁴ = 10 000
    Повторення дозволені ні C(n + r − 1, r) 3 кульки морозива з 5 смаків: 35
    Усі елементи, усі різні так n! розставити 5 книжок: 120
    Усі елементи, деякі однакові так n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) анаграми слова MISSISSIPPI: 34 650

    Перестановка (в україномовних підручниках впорядкований вибір часто називають розміщенням) – це впорядкований вибір: ABC і CAB різні. Комбінація – це множина: {A, B, C} – та сама група за будь-якого порядку. Тому C(n, r) = P(n, r) / r!: кожну групу з r елементів можна впорядкувати r! способами.

    Трикутник Паскаля

    Кожне число трикутника Паскаля дорівнює сумі двох чисел над ним: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Рядок n містить C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) – коефіцієнти (a + b)ⁿ, а його сума дорівнює 2ⁿ – кількості підмножин множини з n елементів. Калькулятор малює весь трикутник до рядка 20 і показує один рядок до рядка 200.

    Поради

    • Калькулятор використовує симетрію C(n, r) = C(n, n − r), щоб скоротити множення: C(100, 97) обчислюється як C(100, 3).
    • За означенням 0! = 1, тому C(n, 0) = C(n, n) = 1 і P(n, 0) = 1.
    • З повтореннями r може бути більшим за n (код із 6 символів із 2 знаків); без повторень r не повинно перевищувати n.
    • Усе обчислюється у вашому браузері: нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

    Поширені запитання

    Чим відрізняються nPr і nCr?

    nPr рахує впорядковані розташування, а nCr – неупорядковані групи. Вибір президента, секретаря й скарбника з 10 осіб – це P(10, 3) = 720; вибір комісії з 3 осіб – C(10, 3) = 120, у шість разів менше, бо кожну комісію можна впорядкувати 3! = 6 способами.

    Як порахувати анаграми слова?

    Виберіть Перестановки мультимножини (елементи, що повторюються) і введіть слово. Літери рахуються без урахування регістру, а результат – це n!, поділене на факторіал кількості кожної літери. Слово ЛІТЕРА дає 6! = 720, а слово МАМА – 4! / (2! × 2!) = 6.

    Чому перелік обмежений?

    Кількість випадків зростає надзвичайно швидко: уже 10 елементів мають 3 628 800 упорядкувань. Перелік показує щонайбільше 500 випадків, для до 50 елементів і r до 20, і повідомляє загальну кількість.

    Наскільки великими можуть бути числа?

    n і r сягають 10 000. Результат завжди точний; понад 15 цифр додатково показано наближене значення, наприклад 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (для 100!), і кількість цифр.

    Як обчислити шанси в лотереї?

    Використайте комбінації: у лотереї 6 з 49 є C(49, 6) = 13 983 816 можливих квитків, тож один квиток має шанс 1 до 13 983 816 збігтися з усіма шістьома числами.

    Схожі інструменти