Utilia
Kategorie ▾
Język: pl ▾

Kalkulator permutacji i kombinacji

Oblicz dokładnie wariacje (nPr), kombinacje (nCr), silnię, wybory z powtórzeniami i liczbę anagramów – z wzorami krok po kroku i listą przypadków.

Liczby całkowite od 0 do 10 000.

Wynik

–

Krok po kroku

Wypisz przypadki

Oddziel elementy przecinkami lub spacjami: n to ich liczba, a r jest brane z pola powyżej. Najwyżej 50 elementów i r ≤ 20; wypisywanych jest pierwszych 500 przypadków.

    Jak korzystać z kalkulatora permutacji i kombinacji

    1. W polu Co liczysz wybierz rodzaj obliczenia: Wariacje bez powtórzeń nPr (kolejność ma znaczenie), Kombinacje nCr (kolejność nie ma znaczenia), Wariacje z powtórzeniami (n^r), Kombinacje z powtórzeniami, Silnia n!, Permutacje z powtórzeniami (powtarzające się elementy) albo Trójkąt Pascala.
    2. Wpisz Liczba wszystkich elementów (n) oraz, jeśli trzeba, Liczba wybranych elementów (r). Dla permutacji z powtórzeniami wpisz w polu Słowo lub liczebności grup słowo, np. MISSISSIPPI, albo liczebności grup identycznych elementów (3 2 1).
    3. Wynik pojawia się podczas pisania; przycisk Oblicz robi to samo, Wyczyść opróżnia pola, a Kopiuj kopiuje wynik razem z zapisem, np. C(10, 3) = 120.
    4. Sekcja Krok po kroku pokazuje wzór, wzór z twoimi liczbami, uproszczony iloczyn i wartość końcową.
    5. Rozwiń Wypisz przypadki, wpisz Elementy (np. a, b, c, d) i naciśnij Wypisz, aby zobaczyć konkretne ustawienia lub grupy. Pokazywanych jest pierwszych 500 przypadków.

    Każdy wynik jest dokładną liczbą całkowitą, liczoną na liczbach całkowitych dowolnej precyzji. n i r mogą sięgać 10 000: 10 000! ma 35 660 cyfr i jest wypisywane w całości, razem z przybliżeniem w notacji naukowej i liczbą cyfr. Obliczenia odbywają się w twojej przeglądarce.

    Którego wzoru użyć?

    Decydują dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie i czy element można użyć więcej niż raz?

    Sytuacja Kolejność ważna Wzór Przykład
    Bez powtórzeń tak V(n, r) = n! / (n − r)! podium 3 miejsc wśród 10 biegaczy: 720
    Bez powtórzeń nie C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 liczb z 49: 13 983 816
    Z powtórzeniami tak n^r 4-cyfrowy PIN: 10⁴ = 10 000
    Z powtórzeniami nie C(n + r − 1, r) 3 gałki z 5 smaków: 35
    Wszystkie elementy, różne tak n! ustawienie 5 książek: 120
    Wszystkie elementy, część identycznych tak n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagramy MISSISSIPPI: 34 650

    W polskiej szkole uporządkowany wybór r spośród n elementów nazywa się wariacją (po angielsku: permutation, stąd skrót nPr), a permutacja to ustawienie wszystkich n elementów (n!). Wariacja to wybór uporządkowany: ABC i CAB są różne. Kombinacja to zbiór: {A, B, C} jest tą samą grupą niezależnie od kolejności. Dlatego C(n, r) = V(n, r) / r!: każdą grupę r elementów można uporządkować na r! sposobów. Liczba kombinacji C(n, r) to inaczej symbol Newtona „n po r”.

    Trójkąt Pascala

    Każda liczba w trójkącie Pascala jest sumą dwóch liczb nad nią: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Wiersz n zawiera C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), czyli współczynniki rozwinięcia (a + b)ⁿ, a jego suma to 2ⁿ – liczba podzbiorów zbioru n-elementowego. Kalkulator rysuje cały trójkąt do wiersza 20 i pojedynczy wiersz do wiersza 200.

    Wskazówki

    • Kalkulator korzysta z symetrii C(n, r) = C(n, n − r), żeby skrócić mnożenie: C(100, 97) liczy jako C(100, 3).
    • Z definicji 0! = 1, więc C(n, 0) = C(n, n) = 1 i V(n, 0) = 1.
    • Z powtórzeniami r może być większe od n (6-znakowy kod z 2 symboli); bez powtórzeń r nie może przekraczać n.

    Najczęściej zadawane pytania

    Czym różni się nPr od nCr?

    nPr liczy uporządkowane ustawienia, a nCr – grupy bez kolejności. Wybór przewodniczącego, sekretarza i skarbnika spośród 10 osób to V(10, 3) = 720; wybór 3-osobowej komisji to C(10, 3) = 120, czyli sześć razy mniej, bo każdą komisję można uporządkować na 3! = 6 sposobów.

    Jak policzyć anagramy słowa?

    Wybierz Permutacje z powtórzeniami (powtarzające się elementy) i wpisz słowo. Litery są liczone bez względu na wielkość, a wynik to n! podzielone przez silnię liczby wystąpień każdej litery. Słowo LETTER daje 6! / (2! × 2!) = 180, a polskie MAMA – 4! / (2! × 2!) = 6.

    Dlaczego lista jest ograniczona?

    Liczba przypadków rośnie bardzo szybko: już 10 elementów ma 3 628 800 ustawień. Lista pokazuje najwyżej 500 przypadków, z co najwyżej 50 elementów i r do 20, i podaje, ile jest ich łącznie.

    Jak duże mogą być liczby?

    n i r sięgają 10 000. Wynik jest zawsze dokładny; powyżej 15 cyfr pokazywane jest też przybliżenie, np. 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (dla 100!), oraz liczba cyfr.

    Jak obliczyć szanse w Lotto?

    Użyj kombinacji: w Lotto 6 z 49 jest C(49, 6) = 13 983 816 możliwych zakładów, więc jeden zakład ma szansę 1 do 13 983 816 na trafienie wszystkich sześciu liczb.

    Podobne narzędzia