Utilia
Kategórie ▾
Jazyk: sk ▾

Kalkulačka permutácií a kombinácií

Vypočítaj variácie (nPr), kombinácie (nCr), faktoriály, opakovanie aj anagramy presne, s postupom podľa vzorcov a výpisom jednotlivých prípadov.

Celé čísla od 0 do 10 000.

Výsledok

–

Postup krok za krokom

Vypísať prípady

Prvky oddeľ čiarkami alebo medzerami: n je ich počet a r sa berie z poľa vyššie. Najviac 50 prvkov a r ≤ 20; vypíše sa prvých 500 prípadov.

    Ako používať kalkulačku permutácií a kombinácií

    1. V poli Čo počítať vyber druh výpočtu: Variácie nPr (záleží na poradí), Kombinácie nCr (nezáleží na poradí), Variácie s opakovaním (n^r), Kombinácie s opakovaním, Faktoriál n!, Permutácie s opakovaním (opakujúce sa prvky) alebo Pascalov trojuholník.
    2. Zadaj Celkový počet prvkov (n) a, ak sa pýta, aj Počet vybraných prvkov (r). Pri opakujúcich sa prvkoch napíš do poľa Slovo alebo veľkosti skupín slovo, napríklad MISSISSIPPI, alebo veľkosti skupín rovnakých prvkov (3 2 1).
    3. Výsledok sa zobrazí počas písania; tlačidlo Vypočítať robí to isté, Vymazať vyprázdni polia a Kopírovať skopíruje výsledok aj s označením, napríklad C(10, 3) = 120.
    4. Postup krok za krokom ukáže vzorec, vzorec s tvojimi číslami, zjednodušený súčin a výslednú hodnotu.
    5. Otvor Vypísať prípady, napíš svoje Prvky (napríklad a, b, c, d) a stlač Vypísať, aby si videl skutočné usporiadania alebo skupiny. Zobrazí sa prvých 500 prípadov.

    Každý výsledok je presné celé číslo vypočítané celými číslami s ľubovoľnou presnosťou. Hodnoty n a r môžu siahať až do 10 000: číslo 10 000! má 35 660 číslic a vypíše sa celé spolu s približnou hodnotou vo vedeckom zápise a počtom číslic. Všetko beží v tvojom prehliadači a nič sa neodosiela na server.

    Ktorý vzorec použiť?

    Rozhodujú dve otázky: záleží na poradí a môže sa prvok použiť viackrát?

    Situácia Záleží na poradí Vzorec Príklad
    Bez opakovania áno P(n, r) = n! / (n − r)! stupeň víťazov pre 3 z 10 bežcov: 720
    Bez opakovania nie C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 čísel zo 49: 13 983 816
    S opakovaním áno n^r 4-miestny PIN: 10⁴ = 10 000
    S opakovaním nie C(n + r − 1, r) 3 kopčeky z 5 príchutí: 35
    Všetky prvky, všetky rôzne áno n! usporiadanie 5 kníh: 120
    Všetky prvky, niektoré rovnaké áno n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagramy slova MISSISSIPPI: 34 650

    Usporiadaný výber sa v slovenčine nazýva variácia (pri výbere všetkých prvkov permutácia): ABC a CAB sú rôzne. Kombinácia je množina: {A, B, C} je tá istá skupina bez ohľadu na poradie. Preto platí C(n, r) = P(n, r) / r!: každú skupinu r prvkov možno usporiadať r! spôsobmi.

    Pascalov trojuholník

    Každé číslo Pascalovho trojuholníka je súčtom dvoch čísel nad ním: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Riadok n obsahuje C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), teda koeficienty výrazu (a + b)ⁿ, a jeho súčet je 2ⁿ, čo je počet podmnožín množiny s n prvkami. Kalkulačka nakreslí celý trojuholník do riadka 20 a jednotlivý riadok zobrazí až do riadka 200.

    Tipy

    • Kalkulačka využíva symetriu C(n, r) = C(n, n − r), aby bolo násobenie čo najkratšie: C(100, 97) sa počíta ako C(100, 3).
    • Podľa definície je 0! = 1, takže C(n, 0) = C(n, n) = 1 a P(n, 0) = 1.
    • S opakovaním môže byť r väčšie ako n (6-znakový kód z 2 symbolov); bez opakovania r nesmie presiahnuť n.

    Často kladené otázky

    Aký je rozdiel medzi nPr a nCr?

    nPr počíta usporiadané výbery a nCr neusporiadané skupiny. Výber predsedu, tajomníka a pokladníka z 10 ľudí je P(10, 3) = 720; výber 3-členného výboru je C(10, 3) = 120, teda šesťkrát menej, pretože každý výbor možno usporiadať 3! = 6 spôsobmi.

    Ako zistím počet anagramov slova?

    Vyber Permutácie s opakovaním (opakujúce sa prvky) a napíš slovo. Písmená sa počítajú bez ohľadu na veľkosť a výsledkom je n! vydelené faktoriálom počtu každého písmena. Slovo LETTER dá 6! / (2! × 2!) = 180.

    Prečo je výpis obmedzený?

    Počet prípadov rastie extrémne rýchlo: už 10 prvkov má 3 628 800 usporiadaní. Výpis zobrazí najviac 500 prípadov, z najviac 50 prvkov a pri r do 20, a uvedie ich celkový počet.

    Aké veľké môžu byť čísla?

    n a r môžu byť až 10 000. Výsledok je vždy presný; nad 15 číslic sa zobrazí aj približná hodnota, napríklad 9,33262154 × 10¹⁵⁷ pre 100!, a počet číslic.

    Ako vypočítam šance v lotérii?

    Použi kombinácie: lotéria 6 zo 49 má C(49, 6) = 13 983 816 možných tiketov, takže jeden tiket má šancu 1 ku 13 983 816, že trafí všetkých šesť čísel.

    Súvisiace nástroje