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Calculadora de permutaciones y combinaciones

Calcula permutaciones (nPr), combinaciones (nCr), factoriales, repeticiones y anagramas de forma exacta, con fórmulas paso a paso y la lista de casos.

Números enteros de 0 a 10.000.

Resultado

–

Paso a paso

Enumerar los casos

Separa los elementos con comas o espacios: n es su cantidad y r se toma del campo de arriba. Como máximo 50 elementos y r ≤ 20; se enumeran los primeros 500 casos.

    Cómo usar la calculadora de permutaciones y combinaciones

    1. En Qué quieres contar, elige el tipo de recuento: Permutaciones nPr (importa el orden), Combinaciones nCr (no importa el orden), Variaciones con repetición (n^r), Combinaciones con repetición, Factorial n!, Permutaciones con elementos repetidos o Triángulo de Pascal.
    2. Introduce el Número total de elementos (n) y, cuando se pida, los Elementos elegidos (r). Para las permutaciones con repetidos, escribe en Palabra o tamaños de los grupos una palabra como MISSISSIPPI o los tamaños de los grupos de elementos idénticos (3 2 1).
    3. El resultado aparece mientras escribes; Calcular hace lo mismo, Borrar vacía los campos y Copiar copia el resultado con su notación, por ejemplo C(10, 3) = 120.
    4. Paso a paso muestra la fórmula, la fórmula con tus números, el producto simplificado y el valor final.
    5. Abre Enumerar los casos, escribe tus Elementos (por ejemplo a, b, c, d) y pulsa Enumerar para ver las ordenaciones o los grupos concretos. Se muestran los primeros 500 casos.

    Cada resultado es un número entero exacto, calculado con enteros de precisión arbitraria. n y r pueden llegar a 10.000: 10.000! tiene 35.660 cifras y se escribe completo, junto con una aproximación en notación científica y su número de cifras.

    ¿Qué fórmula debo usar?

    Lo deciden dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se puede usar un elemento más de una vez?

    Situación Importa el orden Fórmula Ejemplo
    Sin repetición sí P(n, r) = n! / (n − r)! podio de 3 entre 10 corredores: 720
    Sin repetición no C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 números de 49: 13.983.816
    Con repetición sí n^r PIN de 4 cifras: 10⁴ = 10.000
    Con repetición no C(n + r − 1, r) 3 bolas de 5 sabores: 35
    Todos los elementos, distintos sí n! ordenar 5 libros: 120
    Todos los elementos, algunos iguales sí n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagramas de MISSISSIPPI: 34.650

    Una permutación es una selección ordenada: ABC y CAB son distintas. Una combinación es un conjunto: {A, B, C} es el mismo grupo sea cual sea el orden. Por eso C(n, r) = P(n, r) / r!: cada grupo de r elementos puede ordenarse de r! maneras.

    En los libros de texto de habla hispana, lo que aquí se llama P(n, r) también aparece como «variaciones sin repetición» (V(n, r)), y n^r como «variaciones con repetición». Las fórmulas son las mismas.

    Triángulo de Pascal

    Cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos que tiene encima: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). La fila n contiene C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), los coeficientes de (a + b)ⁿ, y su suma es 2ⁿ, el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos. La calculadora dibuja el triángulo completo hasta la fila 20 y muestra una sola fila hasta la 200.

    Consejos

    • La calculadora usa la simetría C(n, r) = C(n, n − r) para acortar la multiplicación: C(100, 97) se calcula como C(100, 3).
    • Por definición 0! = 1, así que C(n, 0) = C(n, n) = 1 y P(n, 0) = 1.
    • Con repetición, r puede ser mayor que n (un código de 6 caracteres con 2 símbolos); sin repetición, r no puede superar a n.

    Preguntas frecuentes

    ¿Qué diferencia hay entre nPr y nCr?

    nPr cuenta ordenaciones y nCr cuenta grupos sin orden. Elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 personas es P(10, 3) = 720; elegir un comité de 3 es C(10, 3) = 120, seis veces menos, porque cada comité puede ordenarse de 3! = 6 maneras.

    ¿Cómo cuento los anagramas de una palabra?

    Elige Permutaciones con elementos repetidos y escribe la palabra. Las letras se cuentan sin distinguir mayúsculas, y el resultado es n! dividido entre el factorial de las veces que aparece cada letra. LETTER da 6! / (2! × 2!) = 180.

    ¿Por qué está limitada la lista?

    El número de casos crece a una velocidad enorme: 10 elementos ya tienen 3.628.800 ordenaciones. La lista muestra como máximo 500 casos, a partir de hasta 50 elementos con r hasta 20, e indica cuántos hay en total.

    ¿Hasta qué tamaño llegan los números?

    n y r llegan hasta 10.000. El resultado siempre es exacto; a partir de 15 cifras se muestra además una aproximación, como 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (para 100!), y el número de cifras.

    ¿Cómo calculo la probabilidad de ganar la lotería?

    Usa combinaciones: una lotería 6/49 tiene C(49, 6) = 13.983.816 boletos posibles, así que un solo boleto tiene 1 posibilidad entre 13.983.816 de acertar los seis números.

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