Utilia
Kategoriat ▾
Kieli: fi ▾

Permutaatio- ja kombinaatiolaskin

Laske permutaatiot (nPr), kombinaatiot (nCr), kertomat, toistolliset valinnat ja anagrammien määrät tarkasti, vaiheittaisilla kaavoilla ja tapausluettelolla.

Kokonaislukuja 0–10 000.

Tulos

–

Vaihe vaiheelta

Luettele tapaukset

Erota alkiot pilkuin tai välilyönnein: n on niiden määrä ja r otetaan yllä olevasta kentästä. Enintään 50 alkiota ja r ≤ 20, ensimmäiset 500 tapausta luetellaan.

    Näin käytät permutaatio- ja kombinaatiolaskinta

    1. Valitse kohdassa Mitä lasketaan laskutapa: Permutaatiot nPr (järjestys merkitsee), Kombinaatiot nCr (järjestyksellä ei ole väliä), Permutaatiot toistolla (n^r), Kombinaatiot toistolla, Kertoma n!, Multijoukon permutaatiot (toistuvat alkiot) tai Pascalin kolmio.
    2. Anna Alkioiden kokonaismäärä (n) ja tarvittaessa Valittujen alkioiden määrä (r). Multijoukolle kirjoita kenttään Sana tai ryhmien koot sana, kuten MISSISSIPPI, tai samanlaisten alkioiden ryhmien koot (3 2 1).
    3. Tulos ilmestyy kirjoittaessasi. Laske tekee saman, Tyhjennä tyhjentää kentät ja Kopioi kopioi tuloksen merkintöineen, esimerkiksi C(10, 3) = 120.
    4. Vaihe vaiheelta näyttää kaavan, kaavan sinun luvuillasi, sievennetyn tulon ja lopullisen arvon.
    5. Avaa Luettele tapaukset, kirjoita Alkiot (esimerkiksi a, b, c, d) ja paina Luettele, niin näet varsinaiset järjestykset tai ryhmät. Ensimmäiset 500 tapausta näytetään.

    Jokainen tulos on tarkka kokonaisluku, joka lasketaan mielivaltaisen tarkoilla kokonaisluvuilla. n ja r voivat olla enintään 10 000: luvussa 10 000! on 35 660 numeroa, ja se kirjoitetaan kokonaan auki sekä tieteellisenä approksimaationa että numeroiden määränä.

    Mitä kaavaa käytän?

    Valinnan ratkaisee kaksi kysymystä: onko järjestyksellä merkitystä ja saako saman alkion käyttää useammin kuin kerran?

    Tilanne Järjestys merkitsee Kaava Esimerkki
    Ei toistoa kyllä P(n, r) = n! / (n − r)! palkintokorokkeen 3 sijaa 10 juoksijasta: 720
    Ei toistoa ei C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 numeroa 49:stä: 13 983 816
    Toisto sallittu kyllä n^r nelinumeroinen PIN: 10⁴ = 10 000
    Toisto sallittu ei C(n + r − 1, r) 3 kuulaa 5 mausta: 35
    Kaikki alkiot, kaikki erilaisia kyllä n! 5 kirjan järjestys: 120
    Kaikki alkiot, osa samanlaisia kyllä n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) sanan MISSISSIPPI anagrammit: 34 650

    Permutaatio on järjestetty valinta: ABC ja CAB ovat eri asioita. Kombinaatio on joukko: {A, B, C} on sama ryhmä missä järjestyksessä tahansa. Siksi C(n, r) = P(n, r) / r!: jokaisen r alkion ryhmän voi järjestää r! tavalla.

    Pascalin kolmio

    Jokainen Pascalin kolmion luku on sen yläpuolella olevien kahden luvun summa: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Rivi n luettelee luvut C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), jotka ovat binomin (a + b)ⁿ kertoimet, ja sen summa on 2ⁿ eli n alkion joukon osajoukkojen määrä. Laskin piirtää koko kolmion riviin 20 asti ja näyttää yksittäisen rivin riviin 200 asti.

    Vinkkejä

    • Laskin käyttää symmetriaa C(n, r) = C(n, n − r) pitääkseen kertolaskun lyhyenä: C(100, 97) lasketaan muodossa C(100, 3).
    • 0! = 1 määritelmän mukaan, joten C(n, 0) = C(n, n) = 1 ja P(n, 0) = 1.
    • Toistolla r voi olla suurempi kuin n (esimerkiksi 6 merkin koodi kahdesta merkistä). Ilman toistoa r ei saa ylittää n:ää.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mitä eroa on nPr:llä ja nCr:llä?

    nPr laskee järjestetyt valinnat ja nCr järjestämättömät ryhmät. Puheenjohtajan, sihteerin ja rahastonhoitajan valinta 10 hengestä on P(10, 3) = 720. Kolmen hengen toimikunnan valinta on C(10, 3) = 120, eli kuusi kertaa vähemmän, koska jokaisen toimikunnan voi järjestää 3! = 6 tavalla.

    Miten lasken sanan anagrammit?

    Valitse Multijoukon permutaatiot (toistuvat alkiot) ja kirjoita sana. Kirjaimet lasketaan isoista ja pienistä kirjaimista riippumatta, ja tulos on n! jaettuna kunkin kirjaimen esiintymismäärän kertomalla. Sanasta LETTER saadaan 6! / (2! × 2!) = 180.

    Miksi luettelo on rajattu?

    Tapausten määrä kasvaa erittäin nopeasti: jo 10 alkiolla on 3 628 800 järjestystä. Luettelo näyttää enintään 500 tapausta, enintään 50 alkiosta ja r:n ollessa enintään 20, ja kertoo tapausten kokonaismäärän.

    Kuinka suuria lukuja voi käyttää?

    n ja r ovat enintään 10 000. Tulos on aina tarkka. Yli 15 numeron tuloksille näytetään lisäksi approksimaatio, esimerkiksi 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (luvulle 100!), sekä numeroiden määrä.

    Miten lasken lottovoiton todennäköisyyden?

    Käytä kombinaatioita: 6/49-lotossa on C(49, 6) = 13 983 816 mahdollista riviä, joten yhdellä rivillä on 1 / 13 983 816 mahdollisuus saada kaikki kuusi numeroa oikein.

    Aiheeseen liittyvät työkalut