Utilia
Kategorie ▾
Jazyk: cs ▾

Permutace a kombinace

Kalkulačka přesně spočítá variace (nPr), kombinace (nCr), faktoriály, opakování i anagramy a ukáže vzorce krok za krokem i výpis případů.

Celá čísla od 0 do 10 000.

Výsledek

–

Postup krok za krokem

Vypsat případy

Prvky odděl čárkami nebo mezerami: n je jejich počet a r se vezme z pole výše. Nejvýše 50 prvků a r ≤ 20; vypíše se prvních 500 případů.

    Jak používat kalkulačku permutací a kombinací

    1. V poli Co spočítat vyber druh výpočtu: Variace nPr (záleží na pořadí), Kombinace nCr (na pořadí nezáleží), Variace s opakováním (n^r), Kombinace s opakováním, Faktoriál n!, Permutace s opakováním (stejné prvky) nebo Pascalův trojúhelník.
    2. Zadej Celkový počet prvků (n) a podle potřeby i Počet vybraných prvků (r). Pro permutace s opakováním napiš do pole Slovo nebo velikosti skupin slovo, například MISSISSIPPI, nebo velikosti skupin stejných prvků (3 2 1).
    3. Výsledek se zobrazuje průběžně, jak píšeš; tlačítko Vypočítat udělá totéž, Vymazat vyprázdní pole a Kopírovat zkopíruje výsledek i se zápisem, například C(10, 3) = 120.
    4. Část Postup krok za krokem ukazuje vzorec, vzorec s tvými čísly, zjednodušený součin a konečnou hodnotu.
    5. Otevři Vypsat případy, napiš své Prvky (například a, b, c, d) a stiskni Vypsat, abys viděl(a) skutečná uspořádání nebo skupiny. Zobrazí se prvních 500 případů.

    Každý výsledek je přesné celé číslo vypočtené celými čísly s libovolnou přesností. Hodnoty n a r mohou být až 10 000: číslo 10 000! má 35 660 číslic a vypíše se celé spolu s přibližnou hodnotou ve vědeckém zápisu a počtem číslic. Vše běží ve tvém prohlížeči.

    Který vzorec použít?

    Rozhodují dvě otázky: záleží na pořadí a může se prvek použít víckrát?

    Situace Záleží na pořadí Vzorec Příklad
    Bez opakování ano P(n, r) = n! / (n − r)! stupně vítězů pro 3 z 10 běžců: 720
    Bez opakování ne C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 čísel ze 49: 13 983 816
    S opakováním ano n^r čtyřmístný PIN: 10⁴ = 10 000
    S opakováním ne C(n + r − 1, r) 3 kopečky z 5 příchutí: 35
    Všechny prvky, všechny různé ano n! seřazení 5 knih: 120
    Všechny prvky, některé stejné ano n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagramy slova MISSISSIPPI: 34 650

    Variace je uspořádaný výběr: ABC a CAB jsou různé. Kombinace je množina: {A, B, C} je stejná skupina bez ohledu na pořadí. Proto platí C(n, r) = P(n, r) / r!: každou skupinu r prvků lze seřadit r! způsoby. V českých učebnicích se výrazu P(n, r) říká variace bez opakování, a pokud se řadí všech n prvků, permutace.

    Pascalův trojúhelník

    Každé číslo Pascalova trojúhelníku je součtem dvou čísel nad ním: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Řádek n obsahuje C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), tedy koeficienty výrazu (a + b)ⁿ, a jeho součet je 2ⁿ, počet podmnožin množiny o n prvcích. Kalkulačka nakreslí celý trojúhelník do řádku 20 a do řádku 200 zobrazí jeden řádek.

    Tipy

    • Kalkulačka využívá symetrii C(n, r) = C(n, n − r), aby byl součin co nejkratší: C(100, 97) se počítá jako C(100, 3).
    • Podle definice je 0! = 1, takže C(n, 0) = C(n, n) = 1 a P(n, 0) = 1.
    • S opakováním může být r větší než n (šestimístný kód ze 2 symbolů); bez opakování r nesmí přesáhnout n.

    Časté dotazy

    Jaký je rozdíl mezi nPr a nCr?

    nPr počítá uspořádané výběry, nCr neuspořádané skupiny. Volba předsedy, jednatele a pokladníka z 10 lidí je P(10, 3) = 720; volba tříčlenného výboru je C(10, 3) = 120, tedy šestkrát méně, protože každý výbor lze seřadit 3! = 6 způsoby.

    Jak spočítám anagramy slova?

    Vyber Permutace s opakováním (stejné prvky) a napiš slovo. Písmena se počítají bez ohledu na velikost a výsledkem je n! dělené faktoriálem počtu každého písmene. Slovo LETTER dává 6! / (2! × 2!) = 180.

    Proč je výpis omezený?

    Počet případů roste extrémně rychle: už 10 prvků má 3 628 800 uspořádání. Výpis ukáže nejvýše 500 případů, z nejvýše 50 prvků a pro r do 20, a uvede celkový počet.

    Jak velká čísla zvládne?

    n a r mohou být až 10 000. Výsledek je vždy přesný; nad 15 číslic se zobrazí také přibližná hodnota, například 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (pro 100!), a počet číslic.

    Jak spočítám šanci ve sportce?

    Použij kombinace: loterie 6 ze 49 má C(49, 6) = 13 983 816 možných tiketů, takže jeden tiket trefí všech šest čísel s pravděpodobností 1 ku 13 983 816.

    Související nástroje