Калькулятор стандартного відхилення

Q: Чому мій результат трохи відрізняється від результату калькулятора?

Перевірте, чи показує ваш калькулятор вибіркову s, σₙ₋₁ чи генеральну σ, σₙ версію. Тут результати показано з точністю до 10 значущих цифр.

Калькулятор стандартного відхилення для вибірки та генеральної сукупності. Дисперсія, середнє, сума квадратів і стандартна похибка з усіма кроками формули.

Набір даних

Розділяйте числа комами, пробілами, крапками з комою або новими рядками. Для десяткових дробів використовуйте крапку (2.5).

Вибірка (ділення на n − 1)

Стандартне відхилення s: –
Дисперсія s²: –

Генеральна сукупність (ділення на n)

Стандартне відхилення σ: –
Дисперсія σ²: –

Середнє x̄: –
Кількість n: –
Сума Σx: –
Сума квадратів Σ(x − x̄)²: –
Стандартна похибка s/√n: –

Покроково

Як користуватися калькулятором стандартного відхилення

Введіть або вставте дані в поле Набір даних. Розділяйте значення комами, пробілами, крапками з комою або новими рядками; стовпець, скопійований з електронної таблиці, працює безпосередньо. Для десяткових дробів використовуйте крапку (2.5).
Результати оновлюються під час введення, або натисніть Обчислити.
Прочитайте обидві версії поруч: Вибірка (ділення на n − 1) дає Стандартне відхилення s і Дисперсія s²; Генеральна сукупність (ділення на n) дає Стандартне відхилення σ і Дисперсія σ².
Нижче ви також отримаєте Середнє x̄, Кількість n, Сума Σx, Сума квадратів Σ(x − x̄)² і Стандартна похибка s/√n.
Панель Покроково записує формулу з вашими числами: середнє, кожен квадрат відхилення, їхню суму, а потім дисперсії та квадратні корені. Копіювати копіює всі результати як текст.

Усе працює у вашому браузері: нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Вибірка чи генеральна сукупність?

Використовуйте формулу генеральної сукупності, коли ваші дані містять кожного члена групи, яка вас цікавить: зріст усіх 24 учнів одного класу, результати кожної гри сезону. Використовуйте формулу вибірки, коли дані – це підмножина, за якою оцінюють більшу групу: 50 опитаних клієнтів із тисяч, десять вимірювань процесу, який можна повторювати безкінечно.

Якщо ви не певні, зазвичай саме вибіркове стандартне відхилення s очікують викладач, лабораторний звіт чи статистичний пакет (наприклад, СТАНДОТКЛОН.В в електронних таблицях). Версія для генеральної сукупності відповідає СТАНДОТКЛОН.Г.

Формули

Для n значень x₁ … xₙ і їхнього середнього x̄ = Σx ÷ n:

Сума квадратів відхилень: SS = Σ(x − x̄)²
Дисперсія генеральної сукупності: σ² = SS ÷ n, а стандартне відхилення σ = √σ²
Вибіркова дисперсія: s² = SS ÷ (n − 1), а вибіркове стандартне відхилення s = √s²
Стандартна похибка середнього: s ÷ √n

Ділення на n − 1 замість n (поправка Бесселя) компенсує те, що відхилення вимірюють від власного середнього вибірки, яке завжди трохи ближче до даних, ніж справжнє середнє. Без неї вибіркова дисперсія в середньому занижувала б дисперсію генеральної сукупності.

Приклад. Для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: середнє дорівнює 40 ÷ 8 = 5. Квадрати відхилень – 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 і 16, їхня сума – 32. Дисперсія генеральної сукупності дорівнює 32 ÷ 8 = 4, тож σ = 2. Вибіркова дисперсія дорівнює 32 ÷ 7 ≈ 4,571, тож s ≈ 2,138.

Точність навіть для великих чисел

Підручниковий скорочений спосіб Σx² − (Σx)² ÷ n віднімає два величезні, майже рівні числа й може втратити всю точність, наприклад для часових позначок чи значень близько мільярда. Цей інструмент натомість використовує алгоритм Велфорда: він оновлює середнє та суму квадратів відхилень по одному значенню, що зберігає точність, навіть коли значення мають велике спільне зміщення.

Поширені запитання

Що мені каже стандартне відхилення?

Воно вимірює, наскільки значення зазвичай віддалені від середнього, в тій самій одиниці, що й дані. Мале стандартне відхилення означає, що значення тісно згруповані; велике – що вони розсіяні. Для приблизно дзвоноподібних даних близько 68% значень лежать у межах одного стандартного відхилення від середнього.

Чим дисперсія відрізняється від стандартного відхилення?

Дисперсія – це середній квадрат відхилення, тому її одиниця піднесена до квадрата (см², €²). Стандартне відхилення – її квадратний корінь, який повертає одиницю даних і полегшує інтерпретацію.

Чому для одного значення немає вибіркового стандартного відхилення?

Вибіркова формула ділить на n − 1, а це нуль, коли n = 1. Одне значення нічого не каже про розкид, тому інструмент показує значення для генеральної сукупності (обидва нульові), а вибіркові залишає порожніми.

Чи може стандартне відхилення бути від’ємним?

Ні. Це квадратний корінь із середнього квадратів, тому воно завжди нульове або додатне. Воно дорівнює нулю лише тоді, коли всі значення однакові.

Чому мій результат трохи відрізняється від результату калькулятора?

Перевірте, чи показує ваш калькулятор вибіркову (s, σₙ₋₁) чи генеральну (σ, σₙ) версію. Тут результати показано з точністю до 10 значущих цифр.