Розв’язування квадратних рівнянь онлайн

Q: Що буде, якщо a = 0?

Тоді рівняння лінійне, bx + c = 0, і інструмент розв’язує його як лінійне: x = −c / b. Якщо b також дорівнює 0, то або розв’язком є будь яке число c = 0 , або розв’язків немає c ≠ 0 .

Q: Чому в результаті є i?

Літера i – уявна одиниця, i² = −1. Вона з’являється, коли дискримінант від’ємний: парабола ніколи не перетинає вісь x, тому дійсного розв’язку немає, але є два комплексні.

Q: Чи можна вводити десяткові дроби або дроби як коефіцієнти?

Так. Введіть 0,5, 1/3 або −2,25; обчислення залишається точним, бо кожен коефіцієнт спершу перетворюється на дріб.

Q: Наскільки точні десяткові значення?

Точний вигляд завжди правильний. Десяткові наближення округлюються до семи значущих цифр, чого достатньо для домашніх завдань і більшості практичних потреб.

Q: Як знайти вершину параболи?

Скористайтеся h = −b / 2a , а потім k = f h , що також дорівнює −Δ / 4a . Інструмент показує обидві формули з вашими числами в розв’язку покроково.

Q: Подвійний корінь рахується один раз чи двічі?

Як розв’язок рівняння це одне значення, яке показано один раз. Як корінь многочлена він має кратність два, тому розклад на множники містить квадрат, наприклад 2 x − 1 ².

Розв’язування квадратних рівнянь

Розв’яжіть квадратне рівняння ax² + bx + c = 0: дискримінант, точні й комплексні корені, вершинна форма, розклад на множники та графік параболи.

Рівняння ax² + bx + c = 0

a b c

Приймаються цілі числа, десяткові дроби та дроби на кшталт 1/2. Порожнє b або c вважається нулем.

Приклади

–

Розв’язок покроково

Як користуватися розв’язувачем квадратних рівнянь

Введіть три коефіцієнти рівняння ax² + bx + c = 0 у поля Коефіцієнт a, Коефіцієнт b і Коефіцієнт c. Приймаються цілі числа, десяткові дроби та дроби на кшталт 1/2, а порожнє b або c вважається нулем.
Відповідь оновлюється під час введення; кнопка Розв’язати робить те саме. Очистити спорожнює три поля, а Копіювати копіює рівняння та його розв’язки.
Прочитайте Розв’язки: кожен корінь показано в точному вигляді, а далі – десятковим наближенням, якщо точне значення не є коротким десятковим дробом.
Нижче інструмент показує Дискримінант Δ, Вершина, Вісь симетрії, Перетин з віссю y, напрям гілок параболи та суму й добуток коренів. Далі йдуть три Форми функції (стандартна, вершинна й розклад на множники) та Графік параболи.
Розв’язок покроково повторює весь хід розв’язання: дискримінант, квадратний корінь із Δ, формулу коренів, обидва корені, вершину, розклад на множники та перевірку.

Кнопки Приклади завантажують типові випадки: два цілі корені, подвійний корінь, комплексні корені та ірраціональні корені. Усе працює у вашому браузері: нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Формула коренів і дискримінант

Квадратне рівняння має вигляд ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Його розв’язки дає формула коренів:

x = (−b ± √Δ) / (2a), де Δ = b² − 4ac

Усе вирішує дискримінант Δ:

Δ > 0: два різні дійсні корені. Якщо Δ – точний квадрат (а коефіцієнти раціональні), корені раціональні й многочлен гарно розкладається, наприклад x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: один подвійний корінь, x = −b / (2a). Парабола дотикається до осі x у своїй вершині.
Δ < 0: дійсних коренів немає. Квадратний корінь із від’ємного числа уявний, √Δ = i√|Δ|, тож корені – дві комплексно спряжені величини, наприклад −1 ± 2i.

Інструмент обчислює точними дробами, тому ніколи не втрачає точності. Коли √Δ не є цілим числом, він спрощує радикал (√32 = 4√2) і скорочує результат: x² + 3x + 1 = 0 дає x = (−3 ± √5)/2, а x² − 8 = 0 дає x = ±2√2.

Вершинна форма, розклад на множники та графік

Вершинна форма a(x − h)² + k одразу показує вершину (h, k), де h = −b / (2a) і k = −Δ / (4a). Пряма x = h – вісь симетрії: обидва корені розташовані на однаковій відстані від неї. Коли a > 0, гілки параболи напрямлені вгору, а k – її мінімум; коли a < 0, гілки напрямлені вниз, а k – максимум.

Розклад на множники a(x − x₁)(x − x₂) використовує корені. З раціональними коренями інструмент записує цілі множники, наприклад 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Коли Δ < 0, розкласти над дійсними числами неможливо, і інструмент повідомляє про це, перш ніж показати комплексні множники.

Графік будується в масштабі навколо вершини та коренів. Сині точки позначають дійсні корені, помаранчева точка – вершину, а пунктирна лінія – вісь симетрії.

Для остаточної перевірки інструмент застосовує формули Вієта: x₁ + x₂ = −b/a і x₁ × x₂ = c/a.

Поширені запитання

Що буде, якщо a = 0?

Тоді рівняння лінійне, bx + c = 0, і інструмент розв’язує його як лінійне: x = −c / b. Якщо b також дорівнює 0, то або розв’язком є будь-яке число (c = 0), або розв’язків немає (c ≠ 0).

Чому в результаті є i?

Літера i – уявна одиниця, i² = −1. Вона з’являється, коли дискримінант від’ємний: парабола ніколи не перетинає вісь x, тому дійсного розв’язку немає, але є два комплексні.

Чи можна вводити десяткові дроби або дроби як коефіцієнти?

Так. Введіть 0,5, 1/3 або −2,25; обчислення залишається точним, бо кожен коефіцієнт спершу перетворюється на дріб.

Наскільки точні десяткові значення?

Точний вигляд завжди правильний. Десяткові наближення округлюються до семи значущих цифр, чого достатньо для домашніх завдань і більшості практичних потреб.

Як знайти вершину параболи?

Скористайтеся h = −b / (2a), а потім k = f(h), що також дорівнює −Δ / (4a). Інструмент показує обидві формули з вашими числами в розв’язку покроково.

Подвійний корінь рахується один раз чи двічі?

Як розв’язок рівняння це одне значення, яке показано один раз. Як корінь многочлена він має кратність два, тому розклад на множники містить квадрат, наприклад 2(x − 1)².