Rekenmachine voor complexe getallen

Zo gebruik je de rekenmachine voor complexe getallen

1. Typ een getal in Complex getal z. Je kunt het schrijven in cartesische vorm (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), in poolvorm (5∠53,13° of 2 cis 45) of in exponentiële vorm (2e^(iπ/2)). Elektrotechnici kunnen j schrijven in plaats van i, en decimalen typ je met een komma (2,5-0,5i); een punt werkt ook.
2. Kies de Bewerking: Optellen: z + w, Aftrekken: z − w, Vermenigvuldigen: z × w, Delen: z ÷ w, Macht: zⁿ, n-de machtswortels van z, of Modulus, argument, geconjugeerde en vormen van z.
3. Vul het tweede veld in. Het label past zich aan de bewerking aan: Tweede getal w voor de vier basisbewerkingen, Exponent n (reëel of complex) voor machten en Graad n van de wortel (1 tot 100) voor wortels. Wil je alleen de eigenschappen van z, dan is het veld verborgen.
4. Kies de Hoekeenheid, Graden of Radialen. Die geldt voor poolvorm-invoer zonder eenheidsteken en voor elk argument in de resultaten.
5. Het resultaat wordt bijgewerkt terwijl je typt; Berekenen doet hetzelfde en toont een melding als een invoer niet te lezen is. Kopiëren kopieert het resultaat, of de hele lijst met wortels.

Onder het resultaat vind je de cartesische vorm, de poolvorm en de exponentiële vorm, de modulus, het argument en de geconjugeerde, gevolgd door Stap voor stap, dat de berekening met jouw getallen herhaalt.

De regels achter elke bewerking

Een complex getal z = a + bi heeft een reëel deel a en een imaginair deel b, waarbij i² = −1.

• Optellen en aftrekken gaan deel voor deel: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Vermenigvuldigen: werk de haakjes uit en vervang i² door −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Bijvoorbeeld (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Delen: vermenigvuldig teller en noemer met de geconjugeerde van de deler, zodat de noemer reëel wordt: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dus (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulus en argument: |z| = √(a² + b²) is de afstand tot de oorsprong, en het argument θ = atan2(b, a) is de hoek met de positieve reële as. De tool geeft het hoofdargument, tussen −180° en 180° (−π en π). Het argument van 0 is niet gedefinieerd.
• Geconjugeerde: z̄ = a − bi, het spiegelbeeld in de reële as. z × z̄ = |z|².

Poolvorm en exponentiële vorm

Elk complex getal behalve 0 kun je schrijven als z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), met r = |z|. Terug geldt a = r cos θ en b = r sin θ. De exponentiële vorm gebruikt altijd radialen, omdat de formule van Euler, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, alleen klopt met θ in radialen. Bij invoer in poolvorm kun je de eenheid afdwingen met ° of rad, of π gebruiken: 2∠π/2 is 2i, welke eenheid je ook gekozen hebt.

Machten en wortels

Voor een gehele exponent geeft de formule van De Moivre zⁿ = rⁿ∠(nθ): verhef de modulus tot de macht en vermenigvuldig de hoek. De tool berekent het resultaat ook door herhaald vermenigvuldigen, zodat (1 + i)⁸ precies 16 oplevert. Voor een gebroken of complexe exponent gebruikt hij de hoofdtak z^w = e^(w·Log z), met Log z = ln r + iθ. Zo is i^i ≈ 0,2079, een reëel getal.

Een getal dat niet 0 is, heeft precies n verschillende n-de machtswortels. Ze hebben allemaal modulus ⁿ√r en hun hoeken zijn (θ + k × 360°) / n voor k = 0 … n − 1, zodat ze gelijkmatig op een cirkel liggen. De derdemachtswortels van −8 zijn 1 + 1,732i, −2 en 1 − 1,732i. De eerste (k = 0) is de hoofdwortel.