Kompleksilukulaskin

Näin käytät kompleksilukulaskinta

1. Kirjoita luku kenttään Kompleksiluku z. Voit kirjoittaa sen suorakulmaisessa muodossa (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), napamuodossa (5∠53,13° tai 2 cis 45) tai eksponenttimuodossa (2e^(iπ/2)). Sähkötekniikassa tutun j:n voi kirjoittaa i:n sijaan.
2. Valitse Laskutoimitus: Yhteenlasku: z + w, Vähennyslasku: z − w, Kertolasku: z × w, Jakolasku: z ÷ w, Potenssi: zⁿ, z:n n:nnet juuret tai z:n itseisarvo, argumentti, liittoluku ja muodot.
3. Täytä toinen kenttä. Sen nimi seuraa laskutoimitusta: Toinen luku w neljälle peruslaskutoimitukselle, Eksponentti n (reaali- tai kompleksiluku) potensseille ja Juuren aste n (1–100) juurille. Kenttä on piilossa, kun haluat vain z:n ominaisuudet.
4. Valitse Kulman yksikkö, Asteet tai Radiaanit. Sitä käytetään napamuotoiseen syötteeseen, jossa ei ole yksikkömerkkiä, sekä kaikkiin tulosten argumentteihin.
5. Tulos päivittyy kirjoittaessasi; Laske tekee saman ja näyttää viestin, jos jotakin syötettä ei voi lukea. Kopioi kopioi tuloksen tai koko juurilistan. Desimaalierottimena toimii pilkku tai piste.

Tuloksen alla näkyvät suorakulmainen, napa- ja eksponenttimuoto, itseisarvo, argumentti ja liittoluku. Perässä on Vaiheittain-osio, joka toistaa laskun omilla luvuillasi. Laskenta tapahtuu selaimessasi, eikä kirjoittamaasi lähetetä palvelimelle.

Sääntöjä jokaisen laskutoimituksen takana

Kompleksiluvulla z = a + bi on reaaliosa a ja imaginaariosa b, missä i² = −1.

• Yhteen- ja vähennyslasku tehdään osa kerrallaan: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Kertolasku kertoo sulut auki ja korvaa i²:n luvulla −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Esimerkiksi (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Jakolasku laventaa osoittajan ja nimittäjän jakajan liittoluvulla, jolloin nimittäjästä tulee reaalinen: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Siis (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Itseisarvo ja argumentti: |z| = √(a² + b²) on etäisyys origosta, ja argumentti θ = atan2(b, a) on kulma positiiviseen reaaliakseliin nähden. Työkalu antaa pääarvon, joka on välillä −180° … 180° (−π … π). Nollan argumentti on määrittelemätön.
• Liittoluku: z̄ = a − bi, peilikuva reaaliakselin suhteen. z × z̄ = |z|².

Napa- ja eksponenttimuoto

Jokainen nollasta poikkeava kompleksiluku voidaan kirjoittaa muodossa z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), missä r = |z|. Takaisin päin a = r cos θ ja b = r sin θ. Eksponenttimuoto käyttää aina radiaaneja, koska Eulerin kaava e^(iθ) = cos θ + i sin θ pätee vain, kun θ on radiaaneina. Napamuotoisessa syötteessä voit pakottaa yksikön merkillä ° tai rad tai käyttää π:tä: 2∠π/2 on 2i valitusta yksiköstä riippumatta.

Potenssit ja juuret

Kokonaislukueksponentille De Moivren kaava antaa zⁿ = rⁿ∠(nθ): korota itseisarvo potenssiin ja kerro kulma. Työkalu laskee tuloksen myös toistetulla kertolaskulla, joten (1 + i)⁸ on täsmälleen 16. Murtoluku- tai kompleksieksponentille se käyttää päähaaraa z^w = e^(w·Log z), missä Log z = ln r + iθ. Siksi i^i ≈ 0,2079, reaaliluku.

Nollasta poikkeavalla luvulla on täsmälleen n erilaista n:ttä juurta. Niillä on yhteinen itseisarvo ⁿ√r, ja niiden kulmat ovat (θ + k × 360°) / n, kun k = 0 … n − 1, joten ne sijaitsevat tasavälein ympyrällä. Luvun −8 kolmannet juuret ovat 1 + 1,732i, −2 ja 1 − 1,732i. Ensimmäinen (k = 0) on pääjuuri.