Kalkulačka komplexných čísel

Ako používať kalkulačku komplexných čísel

1. Do poľa Komplexné číslo z napíš číslo. Môžeš ho zapísať v algebraickom tvare (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), v goniometrickom tvare (5∠53,13° alebo 2 cis 45) alebo v exponenciálnom tvare (2e^(iπ/2)). Elektrotechnici môžu namiesto i písať j.
2. Vyber Operáciu: Sčítanie: z + w, Odčítanie: z − w, Násobenie: z × w, Delenie: z ÷ w, Mocnina: zⁿ, n-té odmocniny z čísla z alebo Absolútna hodnota, argument, združené číslo a tvary čísla z.
3. Vyplň druhé pole. Jeho popis sa mení podľa operácie: Druhé číslo w pri štyroch základných operáciách, Exponent n (reálny alebo komplexný) pri mocninách a Stupeň odmocniny n (1 až 100) pri odmocninách. Ak chceš len vlastnosti čísla z, pole sa skryje.
4. Vyber Jednotku uhla, Stupne alebo Radiány. Používa sa pri goniometrickom zadaní bez značky jednotky a pri každom argumente vo výsledkoch.
5. Výsledok sa prepočítava pri písaní; rovnaký výsledok dá aj Vypočítať a ak sa niektorý údaj nedá prečítať, zobrazí správu. Kopírovať skopíruje výsledok alebo celý zoznam odmocnín.

Pod výsledkom dostaneš algebraický, goniometrický a exponenciálny tvar, absolútnu hodnotu, argument a združené číslo, a potom časť Postup krok za krokom, ktorá výpočet zopakuje s tvojimi číslami.

Pravidlá za jednotlivými operáciami

Komplexné číslo z = a + bi má reálnu časť a a imaginárnu časť b, pričom i² = −1.

• Sčítanie a odčítanie prebieha po častiach: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Násobenie roznásobí zátvorky a nahradí i² číslom −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Napríklad (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Delenie vynásobí čitateľa aj menovateľa združeným číslom k deliteľovi, čím sa menovateľ stane reálnym: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Takže (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Absolútna hodnota a argument: |z| = √(a² + b²) je vzdialenosť od počiatku a argument θ = atan2(b, a) je uhol s kladnou reálnou osou. Nástroj udáva hlavný argument v rozsahu od −180° do 180° (−π až π). Argument čísla 0 nie je definovaný.
• Združené číslo: z̄ = a − bi, zrkadlový obraz podľa reálnej osi. Platí z × z̄ = |z|².

Goniometrický a exponenciálny tvar

Každé nenulové komplexné číslo sa dá zapísať ako z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kde r = |z|. Naspäť platí a = r cos θ a b = r sin θ. Exponenciálny tvar vždy používa radiány, pretože Eulerov vzorec e^(iθ) = cos θ + i sin θ platí len pre θ v radiánoch. Pri goniometrickom zadaní môžeš jednotku vynútiť znakom ° alebo rad, prípadne použiť π: 2∠π/2 je 2i bez ohľadu na zvolenú jednotku.

Mocniny a odmocniny

Pri celom exponente dáva Moivreova veta zⁿ = rⁿ∠(nθ): absolútnu hodnotu umocni a uhol vynásob. Nástroj výsledok počíta aj opakovaným násobením, takže (1 + i)⁸ vyjde presne 16. Pri zlomkovom alebo komplexnom exponente používa hlavnú vetvu z^w = e^(w·Log z), kde Log z = ln r + iθ. Takto vychádza i^i ≈ 0,2079, reálne číslo.

Nenulové číslo má presne n rôznych n-tých odmocnín. Majú rovnakú absolútnu hodnotu ⁿ√r a ich uhly sú (θ + k × 360°) / n pre k = 0 … n − 1, takže ležia rovnomerne na kružnici. Tretie odmocniny z čísla −8 sú 1 + 1,732i, −2 a 1 − 1,732i. Prvá z nich (k = 0) je hlavná odmocnina.