Kalkulator ng Complex Number

Paano gamitin ang kalkulator ng complex number

1. Mag-type ng numero sa Complex number z. Puwede itong nasa rectangular na anyo (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), polar na anyo (5∠53.13° o 2 cis 45) o exponential na anyo (2e^(iπ/2)). Puwedeng j ang gamitin ng mga engineer sa halip na i.
2. Piliin ang Operasyon: Pagsamahin: z + w, Ibawas: z − w, I-multiply: z × w, Hatiin: z ÷ w, Power: zⁿ, Mga n-th root ng z, o Modulus, argument, conjugate at mga anyo ng z.
3. Punan ang pangalawang field. Sumusunod ang label nito sa operasyon: Pangalawang numero w para sa apat na pangunahing operasyon, Exponent n (real o complex) para sa power at Degree ng ugat n (1 hanggang 100) para sa mga ugat. Nakatago ito kapag mga katangian lang ng z ang gusto mo.
4. Piliin ang Unit ng anggulo, Degrees o Radians. Ginagamit ito sa polar na input na walang simbolo ng unit at sa bawat argument sa mga resulta.
5. Awtomatikong nag-a-update ang resulta habang nagta-type ka; ganoon din ang ginagawa ng Kalkulahin at nagpapakita ito ng mensahe kung hindi mabasa ang isang entry. Kinokopya ng Kopyahin ang resulta, o ang buong listahan ng mga ugat.

Sa ilalim ng resulta, makikita ang rectangular, polar at exponential na anyo, ang modulus, ang argument at ang conjugate, kasunod ng seksiyong Hakbang-hakbang na inuulit ang kalkulasyon gamit ang iyong mga numero.

Ang mga tuntunin sa likod ng bawat operasyon

Ang complex number na z = a + bi ay may real part na a at imaginary part na b, kung saan i² = −1.

• Pagdaragdag at pagbabawas ay ginagawa kada bahagi: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplication: ipinapamahagi ang mga panaklong at pinapalitan ang i² ng −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Halimbawa, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Paghahati: ina-multiply ang itaas at ibaba sa conjugate ng pambahagi, kaya nagiging real ang denominator: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Kaya (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulus at argument: ang |z| = √(a² + b²) ay ang layo mula sa origin, at ang argument na θ = atan2(b, a) ay ang anggulo sa positibong real axis. Ibinibigay ng tool ang principal argument, sa pagitan ng −180° at 180° (−π at π). Hindi tinukoy ang argument ng 0.
• Conjugate: z̄ = a − bi, ang salamin ng numero sa kabilang panig ng real axis. z × z̄ = |z|².

Polar at exponential na anyo

Anumang complex number na hindi zero ay maisusulat bilang z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kung saan r = |z|. Pabalik naman, a = r cos θ at b = r sin θ. Laging radians ang gamit sa exponential na anyo, dahil tama lang ang formula ni Euler na e^(iθ) = cos θ + i sin θ kapag radians ang θ. Sa polar na input, maaari mong piliting itakda ang unit gamit ang ° o rad, o gumamit ng π: ang 2∠π/2 ay 2i anuman ang napiling unit.

Power at mga ugat

Para sa buong exponent, ibinibigay ng formula ni De Moivre na zⁿ = rⁿ∠(nθ): itaas ang modulus sa power at i-multiply ang anggulo. Kinukuwenta rin ng tool ang resulta sa paulit-ulit na multiplication, kaya ang (1 + i)⁸ ay lumalabas na eksaktong 16. Para sa fractional o complex na exponent, ginagamit nito ang principal branch na z^w = e^(w·Log z), kung saan Log z = ln r + iθ. Ganito nakukuha ang i^i ≈ 0.2079, na real number.

Ang numerong hindi zero ay may eksaktong n magkakaibang n-th root. Pareho ang modulus nila na ⁿ√r at ang mga anggulo nila ay (θ + k × 360°) / n para sa k = 0 … n − 1, kaya pantay-pantay silang nakapuwesto sa isang bilog. Ang mga cube root ng −8 ay 1 + 1.732i, −2 at 1 − 1.732i. Ang una (k = 0) ang principal root.