Kalkulator kompleksnih števil

Kako uporabljati kalkulator kompleksnih števil

1. V polje Kompleksno število z vpiši število. Zapišeš ga lahko v pravokotnem zapisu (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), v polarnem zapisu (5∠53,13° ali 2 cis 45) ali v eksponentnem zapisu (2e^(iπ/2)). Elektrotehniki lahko namesto i pišejo j.
2. Izberi Operacija: Seštevanje: z + w, Odštevanje: z − w, Množenje: z × w, Deljenje: z ÷ w, Potenca: zⁿ, n-ti koreni števila z ali Absolutna vrednost, argument, konjugirano število in zapisi števila z.
3. Izpolni drugo polje. Njegova oznaka sledi operaciji: Drugo število w pri štirih osnovnih računskih operacijah, Eksponent n (realen ali kompleksen) pri potencah in Stopnja korena n (od 1 do 100) pri korenih. Skrito je, kadar te zanimajo samo lastnosti števila z.
4. Izberi Enota za kot, Stopinje ali Radiani. Uporabi se pri polarnem vnosu brez oznake enote in pri vseh argumentih v rezultatih.
5. Rezultat se posodablja med tipkanjem; Izračunaj naredi isto in prikaže sporočilo, če vnosa ni mogoče prebrati. Kopiraj skopira rezultat ali celoten seznam korenov.

Pod rezultatom so pravokotni, polarni in eksponentni zapis, absolutna vrednost, argument in konjugirano število, za njimi pa razdelek Korak za korakom, ki ponovi izračun s tvojimi števili. Decimalke lahko pišeš z vejico (2,5) ali s piko, rezultati pa so prikazani z vejico.

Pravila za posamezne operacije

Kompleksno število z = a + bi ima realni del a in imaginarni del b, pri čemer je i² = −1.

• Seštevanje in odštevanje potekata po delih: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Množenje razčleni oklepaje in nadomesti i² z −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na primer (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Deljenje števec in imenovalec pomnoži s konjugiranim številom delitelja, zaradi česar postane imenovalec realen: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Tako je (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Absolutna vrednost in argument: |z| = √(a² + b²) je razdalja od izhodišča, argument θ = atan2(b, a) pa kot s pozitivno realno osjo. Orodje poda glavni argument, med −180° in 180° (−π in π). Argument števila 0 ni definiran.
• Konjugirano število: z̄ = a − bi, zrcalna slika čez realno os. z × z̄ = |z|².

Polarni in eksponentni zapis

Vsako od nič različno kompleksno število lahko zapišemo kot z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kjer je r = |z|. Obratno je a = r cos θ in b = r sin θ. Eksponentni zapis vedno uporablja radiane, ker Eulerjeva formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ velja le za θ v radianih. Pri polarnem vnosu lahko enoto določiš z ° ali rad ali pa uporabiš π: 2∠π/2 je 2i ne glede na izbrano enoto.

Potence in koreni

Pri celem eksponentu Moivrov obrazec da zⁿ = rⁿ∠(nθ): absolutno vrednost potenciraj, kot pa pomnoži. Orodje rezultat izračuna tudi z ponavljajočim množenjem, zato je (1 + i)⁸ natanko 16. Pri ulomljenem ali kompleksnem eksponentu uporabi glavno vejo z^w = e^(w·Log z), kjer je Log z = ln r + iθ. Tako je i^i ≈ 0,2079, realno število.

Od nič različno število ima natanko n različnih n-tih korenov. Vsi imajo absolutno vrednost ⁿ√r, njihovi koti pa so (θ + k × 360°) / n za k = 0 … n − 1, zato so enakomerno razporejeni po krožnici. Tretji koreni števila −8 so 1 + 1,732i, −2 in 1 − 1,732i. Prvi (k = 0) je glavni koren.