Kalkulator kompleksnih brojeva

Kako koristiti kalkulator kompleksnih brojeva

1. Upiši broj u polje Kompleksni broj z. Možeš ga napisati u algebarskom obliku (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), u polarnom obliku (5∠53.13° ili 2 cis 45) ili u eksponencijalnom obliku (2e^(iπ/2)). Inženjeri mogu pisati j umjesto i.
2. Odaberi Operacija: Sabiranje: z + w, Oduzimanje: z − w, Množenje: z × w, Dijeljenje: z ÷ w, Stepen: zⁿ, n-ti korijeni broja z ili Modul, argument, konjugat i oblici broja z.
3. Popuni drugo polje. Njegova oznaka zavisi od operacije: Drugi broj w za četiri osnovne operacije, Eksponent n (realan ili kompleksan) za stepenovanje i Stepen korijena n (1 do 100) za korijene. Sakriveno je kad želiš samo svojstva broja z.
4. Odaberi Jedinica ugla, Stepeni ili Radijani. Koristi se za polarni unos bez oznake jedinice i za svaki argument u rezultatima.
5. Rezultat se ažurira dok kucaš; Izračunaj radi isto i prikazuje poruku ako se neki unos ne može pročitati. Kopiraj kopira rezultat ili cijelu listu korijena.

Ispod rezultata dobijaš algebarski, polarni i eksponencijalni oblik, modul, argument i konjugat, a zatim dio Korak po korak koji ponavlja račun s tvojim brojevima.

Pravila iza svake operacije

Kompleksni broj z = a + bi ima realni dio a i imaginarni dio b, gdje je i² = −1.

• Sabiranje i oduzimanje rade se dio po dio: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Množenje množi zagrade i zamjenjuje i² sa −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na primjer (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Dijeljenje množi brojilac i nazivnik konjugatom djelitelja, čime nazivnik postaje realan: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dakle (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modul i argument: |z| = √(a² + b²) je udaljenost od koordinatnog početka, a argument θ = atan2(b, a) je ugao s pozitivnom realnom osom. Alat daje glavni argument, između −180° i 180° (−π i π). Argument broja 0 nije definisan.
• Konjugat: z̄ = a − bi, odraz u odnosu na realnu osu. z × z̄ = |z|².

Polarni i eksponencijalni oblik

Svaki broj različit od nule može se zapisati kao z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), gdje je r = |z|. U obrnutom smjeru, a = r cos θ i b = r sin θ. Eksponencijalni oblik uvijek koristi radijane, jer Eulerova formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ vrijedi samo za θ u radijanima. Kod polarnog unosa jedinicu možeš nametnuti oznakom ° ili rad, ili koristiti π: 2∠π/2 je 2i bez obzira na odabranu jedinicu.

Stepeni i korijeni

Za cjelobrojni eksponent Moivreova formula daje zⁿ = rⁿ∠(nθ): modul se stepenuje, a ugao množi. Alat rezultat računa i ponovljenim množenjem, pa (1 + i)⁸ daje tačno 16. Za razlomljeni ili kompleksni eksponent koristi glavnu granu z^w = e^(w·Log z), gdje je Log z = ln r + iθ. Tako se dobija i^i ≈ 0,2079, realan broj.

Broj različit od nule ima tačno n različitih n-tih korijena. Svi imaju modul ⁿ√r, a uglovi su im (θ + k × 360°) / n za k = 0 … n − 1, pa leže ravnomjerno na kružnici. Kubni korijeni broja −8 su 1 + 1,732i, −2 i 1 − 1,732i. Prvi (k = 0) je glavni korijen.

Alat radi u tvom pregledniku. Ništa što upišeš ne šalje se na server.