Kalkulator for komplekse tall

Slik bruker du kalkulatoren for komplekse tall

1. Skriv inn et tall i Komplekst tall z. Du kan skrive det i rektangulær form (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), i polarform (5∠53.13° eller 2 cis 45) eller i eksponentiell form (2e^(iπ/2)). Ingeniører kan skrive j i stedet for i.
2. Velg Operasjon: Addisjon: z + w, Subtraksjon: z − w, Multiplikasjon: z × w, Divisjon: z ÷ w, Potens: zⁿ, n-te røtter av z eller Absoluttverdi, argument, konjugert og former av z.
3. Fyll ut det andre feltet. Teksten følger operasjonen: Andre tall w for de fire regneartene, Eksponent n (reell eller kompleks) for potenser og Rotgrad n (1 til 100) for røtter. Feltet skjules når du bare vil ha egenskapene til z.
4. Velg Vinkelenhet, Grader eller Radianer. Den brukes for polar inndata uten enhetstegn og for alle argumenter i resultatene.
5. Resultatet oppdateres mens du skriver. Beregn gjør det samme og viser en melding hvis en oppføring ikke kan leses. Kopier kopierer resultatet, eller hele listen med røtter.

Under resultatet får du rektangulær, polar og eksponentiell form, absoluttverdi, argument og konjugert, etterfulgt av en Steg for steg-seksjon som gjentar utregningen med tallene dine.

Reglene bak hver operasjon

Et komplekst tall z = a + bi har en realdel a og en imaginærdel b, der i² = −1.

• Addisjon og subtraksjon gjøres del for del: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplikasjon ganger ut parentesene og erstatter i² med −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. For eksempel er (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Divisjon ganger teller og nevner med den konjugerte av divisoren, noe som gjør nevneren reell: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dermed er (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Absoluttverdi og argument: |z| = √(a² + b²) er avstanden fra origo, og argumentet θ = atan2(b, a) er vinkelen med den positive reelle aksen. Verktøyet oppgir hovedargumentet, mellom −180° og 180° (−π og π). Argumentet til 0 er udefinert.
• Konjugert: z̄ = a − bi, speilbildet om den reelle aksen. z × z̄ = |z|².

Polarform og eksponentiell form

Ethvert komplekst tall forskjellig fra null kan skrives z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), med r = |z|. Tilbake gjelder a = r cos θ og b = r sin θ. Den eksponentielle formen bruker alltid radianer, fordi Eulers formel e^(iθ) = cos θ + i sin θ bare gjelder med θ i radianer. For polar inndata kan du fastsette enheten med ° eller rad, eller bruke π: 2∠π/2 er 2i uansett valgt enhet.

Potenser og røtter

For en heltallig eksponent gir De Moivres formel zⁿ = rⁿ∠(nθ): opphøy absoluttverdien og gang vinkelen. Verktøyet regner også ut resultatet ved gjentatt multiplikasjon, så (1 + i)⁸ blir nøyaktig 16. For en brøk eller kompleks eksponent brukes hovedgrenen z^w = e^(w·Log z), med Log z = ln r + iθ. Slik blir i^i ≈ 0,2079, et reelt tall.

Et tall forskjellig fra null har nøyaktig n ulike n-te røtter. De har felles absoluttverdi ⁿ√r, og vinklene deres er (θ + k × 360°) / n for k = 0 … n − 1, så de ligger jevnt fordelt på en sirkel. Tredjerøttene av −8 er 1 + 1,732i, −2 og 1 − 1,732i. Den første (k = 0) er hovedroten.