Räknare för komplexa tal

Så här använder du räknaren för komplexa tal

1. Skriv ett tal i Komplext tal z. Du kan skriva det i rektangulär form (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), i polär form (5∠53,13° eller 2 cis 45) eller i exponentiell form (2e^(iπ/2)). Du som är tekniker kan skriva j i stället för i.
2. Välj Räkneoperation: Addera: z + w, Subtrahera: z − w, Multiplicera: z × w, Dividera: z ÷ w, Potens: zⁿ, n:te rötterna ur z eller Belopp, argument, konjugat och former för z.
3. Fyll i det andra fältet. Etiketten följer operationen: Andra talet w för de fyra räknesätten, Exponent n (reell eller komplex) för potenser och Rotens grad n (1 till 100) för rötter. Fältet döljs när du bara vill se egenskaperna hos z.
4. Välj Vinkelenhet, Grader eller Radianer. Den används för polär inmatning utan enhetstecken och för alla argument i resultaten.
5. Resultatet uppdateras medan du skriver. Beräkna gör samma sak och visar ett meddelande om något inte kan tolkas. Kopiera kopierar resultatet, eller hela listan med rötter.

Under resultatet får du den rektangulära, polära och exponentiella formen, beloppet, argumentet och konjugatet, följt av ett avsnitt Steg för steg som upprepar beräkningen med dina tal.

Reglerna bakom varje operation

Ett komplext tal z = a + bi har en realdel a och en imaginärdel b, där i² = −1.

• Addition och subtraktion sker del för del: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplikation utvecklar parenteserna och ersätter i² med −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Till exempel är (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Division förlänger täljare och nämnare med nämnarens konjugat, vilket gör nämnaren reell: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Alltså är (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Belopp och argument: |z| = √(a² + b²) är avståndet från origo, och argumentet θ = atan2(b, a) är vinkeln mot den positiva reella axeln. Verktyget ger principalargumentet, mellan −180° och 180° (−π och π). Argumentet för 0 är odefinierat.
• Konjugat: z̄ = a − bi, spegelbilden i den reella axeln. z × z̄ = |z|².

Polär och exponentiell form

Varje komplext tal som inte är noll kan skrivas z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), där r = |z|. Tillbaka igen: a = r cos θ och b = r sin θ. Den exponentiella formen använder alltid radianer, eftersom Eulers formel e^(iθ) = cos θ + i sin θ bara gäller med θ i radianer. För polär inmatning kan du tvinga fram enheten med ° eller rad, eller använda π: 2∠π/2 är 2i oavsett vald enhet.

Potenser och rötter

För en heltalsexponent ger De Moivres formel zⁿ = rⁿ∠(nθ): upphöj beloppet och multiplicera vinkeln. Verktyget beräknar också resultatet med upprepad multiplikation, så (1 + i)⁸ blir exakt 16. För en bråkexponent eller komplex exponent används principalgrenen z^w = e^(w·Log z), med Log z = ln r + iθ. Därför är i^i ≈ 0,2079, ett reellt tal.

Ett tal som inte är noll har exakt n olika n:te rötter. De har samma belopp ⁿ√r och deras vinklar är (θ + k × 360°) / n för k = 0 … n − 1, så de ligger jämnt fördelade på en cirkel. Kubikrötterna ur −8 är 1 + 1,732i, −2 och 1 − 1,732i. Den första (k = 0) är principalroten.